Probabilidad y estadística: probabilidad condicionada y distribuciones
Este bloque evalúa la probabilidad condicionada, la independencia, los teoremas de la probabilidad total y de Bayes, la lectura de tablas de contingencia y el cálculo de probabilidades con las distribuciones binomial y normal.
Reglas y conceptos
- P(A|B) = P(A∩B)/P(B). A y B son independientes si y solo si P(A∩B)=P(A)·P(B), lo que equivale a P(A|B)=P(A).
- Unión y complementario: P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B), y P(al menos uno) = 1 - P(ninguno).
- Probabilidad total: P(B) = Σ P(A_i)·P(B|A_i), con los A_i formando una partición del espacio muestral.
- Bayes: P(A_i|B) = P(A_i)·P(B|A_i) / Σ P(A_j)·P(B|A_j); el denominador es la probabilidad total.
- Tablas de contingencia: trabaja con los totales marginales y recuerda que la condición reduce el espacio muestral a una fila o columna.
- Binomial B(n,p): P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1-p)^{n-k}, con media np y desviación típica √(np(1-p)).
- Normal N(μ,σ): tipifica z = (x-μ)/σ antes de usar la tabla de N(0,1) y aprovecha la simetría P(Z<-z) = 1-P(Z<z).
- Extracciones sin reemplazamiento: la probabilidad cambia en la segunda extracción; con reemplazamiento se mantiene y el modelo es binomial.
Ejemplo resuelto
Una fábrica produce el 60 % de sus piezas en la máquina A y el 40 % en B; son defectuosas el 2 % de las de A y el 5 % de las de B. La probabilidad de que una pieza al azar sea defectuosa es 0,6·0,02 + 0,4·0,05 = 0,032. Si se observa que una pieza es defectuosa, la probabilidad de que proceda de A es P(A|D) = 0,012/0,032 = 0,375, claramente menor que la de B, porque su tasa de defectos es más alta.
Errores que cuestan puntos
Invertir la condicionada y confundir P(A|B) con P(B|A); suponer independencia sin justificarla; olvidar el coeficiente C(n,k) o confundir «al menos uno» con «exactamente uno»; no tipificar en la normal o redondear z antes de mirar la tabla; mezclar extracciones con y sin reemplazamiento.