Concentración de un vertido: máximo,media y umbral de alerta
Una planta depuradora vierte un contaminante en un río. Un estudio hidrológico modela la concentración en el punto de vertido, medida en mg/L, mediante C(t) = 60t/(t² + 9), donde t es el tiempo en horas desde el inicio del vertido (t ≥ 0). El responsable de la planta debe presentar un informe a la Confederación Hidrográfica con tres datos: el instante y el valor de la concentración máxima, el comportamiento a largo plazo y la concentración media durante las primeras seis horas, que es el periodo en el que se aplica el protocolo de alerta. La normativa exige declarar además todos los instantes en los que la concentración alcanza exactamente 5 mg/L, porque por encima de ese umbral se activa el aviso a los municipios de aguas abajo. El jefe de planta sospecha que la concentración nunca baja de 5 mg/L después del pico y quiere comprobar si esa afirmación es cierta antes de firmar el informe.
1. Determina el instante y el valor de la concentración máxima y el comportamiento de C(t) cuando t → ∞, justificando que se trata de un máximo absoluto.
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Derivada y monotonía. C'(t) = [60(t² + 9) − 60t·2t]/(t² + 9)² = 60(9 − t²)/(t² + 9)². El denominador es siempre positivo, así que el signo lo fija 9 − t²: C crece en (0, 3) y decrece en (3, +∞). El único punto crítico con t ≥ 0 es t = 3, y el cambio de signo de + a − confirma un máximo relativo; al ser el único extremo y crecer antes y decrecer después, es el máximo absoluto en [0, +∞). C(3) = 180/18 = 10 mg/L. Largo plazo. Dividiendo numerador y denominador entre t²: C(t) = (60/t)/(1 + 9/t²) → 0 cuando t → ∞. La concentración se diluye hasta anularse (asíntota horizontal y = 0). Respuesta: máximo de 10 mg/L a las 3 horas; lim en el infinito = 0 mg/L.
2. Calcula la concentración media del contaminante durante las primeras seis horas e interpreta si ese valor es coherente con el máximo obtenido.
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Planteamiento. La concentración media en [0, 6] es (1/6)·∫₀⁶ 60t/(t² + 9) dt. Primitiva. Con el cambio u = t² + 9, du = 2t dt, se tiene ∫ 60t/(t² + 9) dt = 30 ln(t² + 9) + C. Es inmediata porque el numerador es proporcional a la derivada del denominador. Evaluación. ∫₀⁶ = 30[ln 45 − ln 9] = 30 ln 5. Media = 30 ln 5 / 6 = 5 ln 5 ≈ 8,05 mg/L. Coherencia. El valor 8,05 mg/L está entre C(0) = 0 y C(3) = 10 y por debajo del máximo: es razonable, porque el intervalo incluye tres horas de subida y tres de bajada, y la cola decreciente pesa menos que el tramo inicial.
3. Halla todos los instantes en que la concentración es exactamente 5 mg/L y evalúa con rigor la sospecha del jefe de planta.
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Ecuación. 60t/(t² + 9) = 5 → 60t = 5t² + 45 → t² − 12t + 9 = 0 (dividiendo entre 5 y reordenando). Raíces. t = [12 ± √(144 − 36)]/2 = [12 ± √108]/2 = 6 ± 3√3. Valores: t₁ = 6 − 3√3 ≈ 0,80 h y t₂ = 6 + 3√3 ≈ 11,20 h. Ambas son válidas (t ≥ 0). Interpretación. C es continua y C(3) = 10 > 5, luego por el teorema de Bolzano-Weierstrass la concentración supera los 5 mg/L exactamente en el intervalo (t₁, t₂). A partir de t₂ la función es decreciente y tiende a 0, de modo que C(t) < 5 mg/L para todo t > t₂. Conclusión. La sospecha es falsa: el umbral solo se rebasa entre las 0,80 h y las 11,20 h; después de las 11,20 h la concentración cae por debajo de 5 mg/L y el aviso a los municipios puede levantarse.