Madrid PAU Mathematics II key terms

Valor al que se aproxima la imagen de una función cuando la variable se acerca a un punto, sin necesidad de alcanzarlo. Puede ser finito, infinito o no existir si los límites laterales no coinciden.

Límite que se calcula aproximándose al punto solo por valores menores (por la izquierda) o solo por mayores (por la derecha). El límite global existe únicamente cuando ambos laterales son iguales y finitos.

Expresión simbólica como 0/0, ∞/∞, ∞−∞, 0·∞, 1^∞, 0^0 o ∞^0 que aparece al sustituir y no determina el límite. Se resuelve con factorización, conjugado, equivalencias o la regla de L'Hôpital.

Método para resolver indeterminaciones 0/0 o ∞/∞ sustituyendo el cociente de funciones por el cociente de sus derivadas, siempre que este último límite exista. Requiere derivabilidad en un entorno del punto.

Propiedad que cumple una función en un punto cuando existe su valor, existe el límite en ese punto y ambos coinciden. Si falla alguna condición aparece una discontinuidad evitable, de salto o asintótica.

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] y toma signos opuestos en los extremos, entonces existe al menos un punto interior donde se anula. Se usa para justificar raíces de ecuaciones.

Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en él un máximo y un mínimo absolutos. Es la base teórica para optimizar funciones en intervalos compactos.

Límite del cociente incremental cuando el incremento tiende a cero; mide la tasa de cambio instantánea y coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese punto.

Condición de una función que admite derivada finita en un punto. Implica continuidad, pero lo contrario no es cierto: por ejemplo, el valor absoluto es continuo y no derivable en el origen.

Fórmula para derivar una composición: la derivada de f(g(x)) es f'(g(x))·g'(x). Es imprescindible en funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas compuestas.

Técnica para obtener y' en una ecuación F(x,y)=0 sin despejar y, derivando ambos miembros respecto de x y tratando y como función de x. Aparece en curvas y en rectas tangentes.

Recta que toca a la curva en un punto con la misma pendiente que la derivada allí. Su ecuación es y − f(a) = f'(a)(x − a) y sirve para aproximaciones lineales.

Recta perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. Su pendiente es el opuesto del inverso de f'(a), es decir, −1/f'(a), siempre que la derivada no sea nula.

Punto donde la función alcanza un máximo o mínimo local. Se localiza con puntos críticos (f'=0 o f' no existe) y se clasifica con el signo de f' o con el criterio de la segunda derivada.

Valor del dominio donde la derivada es cero o no existe. Es candidato a extremo relativo, pero no todo punto crítico produce máximo o mínimo (por ejemplo, un punto de inflexión con tangente horizontal).

Sentido en que se curva la gráfica de una función. Viene dada por el signo de la segunda derivada: positiva indica concavidad hacia arriba y negativa hacia abajo.

Punto donde la función cambia de concavidad. Si existe la segunda derivada, se anula allí, aunque anularse no garantiza el cambio (por ejemplo, x³ en el origen).

Recta a la que la gráfica de una función se aproxima indefinidamente sin llegar a cortarla en el infinito. Puede ser vertical, horizontal u oblicua, y se estudia con límites.

Función F cuya derivada es la función dada f. Se escribe ∫f(x)dx = F(x)+C, donde C es una constante arbitraria; dos primitivas difieren en una constante.

Número que representa el área con signo entre la gráfica de una función y el eje de abscisas en un intervalo [a,b]. Se calcula mediante la regla de Barrow aplicando una primitiva.

Establece que la derivada de la función integral F(x)=∫ₐˣ f(t)dt es f(x) cuando f es continua. Vincula derivación e integración como operaciones inversas.

Técnica basada en ∫u dv = uv − ∫v du, útil para productos de polinomios con exponenciales, logaritmos o trigonométricas. Requiere elegir adecuadamente u y dv.

Conjunto de valores de la variable independiente para los que la función está definida. Se restringe por denominadores nulos, raíces de índice par negativas o argumentos de logaritmos no positivos.

Tabla rectangular de números ordenados en filas y columnas. Se clasifica por su dimensión m×n y admite operaciones de suma, producto por escalar y producto matricial cuando las dimensiones son compatibles.

Número asociado a una matriz cuadrada que indica si es invertible: es distinto de cero si y solo si la matriz tiene inversa. Se calcula por Sarrus en orden 3 o por adjuntos.

Matriz A⁻¹ que cumple A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Existe solo si el determinante de A es no nulo, y se obtiene como la adjunta traspuesta dividida por el determinante.

Número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes. Coincide con el orden del mayor menor no nulo y determina el número de ecuaciones relevantes de un sistema.

Clasifica un sistema de ecuaciones lineales comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada: si son iguales el sistema es compatible, y es determinado cuando ese rango iguala el número de incógnitas.

Sistema con infinitas soluciones porque el rango de la matriz de coeficientes es menor que el número de incógnitas. La solución se expresa con uno o varios parámetros libres.

Sistema sin solución porque el rango de la matriz ampliada es mayor que el de la matriz de coeficientes. Geométricamente, las rectas o planos no tienen punto común.

Segmento orientado del espacio determinado por módulo, dirección y sentido, o conjunto de componentes (a,b,c). Se suman componente a componente y se multiplican por escalares.

Operación entre dos vectores que da un número: u·v = |u||v|cos θ. Permite calcular ángulos, comprobar perpendicularidad (producto nulo) y obtener proyecciones.

Operación entre dos vectores que da otro vector perpendicular a ambos, con módulo igual al área del paralelogramo que determinan. Se anula cuando los vectores son paralelos.

Combinación [u,v,w] = u·(v×w) que da el volumen con signo del paralelepípedo formado por tres vectores. Es nulo si y solo si los tres vectores son coplanarios.

Expresión ax+by+cz+d=0, donde (a,b,c) es un vector normal al plano. También se obtiene con un punto y dos vectores directores mediante un determinante nulo.

Vector perpendicular a un plano que aparece como coeficientes (a,b,c) en su ecuación general. Sirve para calcular ángulos entre planos y distancias punto-plano.

Descripción de una recta mediante un punto y un vector director, en forma paramétrica, continua o implícita como intersección de dos planos. Dos rectas pueden cortarse, ser paralelas o cruzarse.

Probabilidad de que ocurra un suceso A sabiendo que ha ocurrido otro B, definida como P(A|B)=P(A∩B)/P(B) si P(B)>0. Es la base del teorema de Bayes y de la independencia.

Permite calcular la probabilidad de una causa dado un efecto observado: P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B). Se aplica con el teorema de la probabilidad total para obtener P(B).

Dos sucesos lo son cuando P(A∩B)=P(A)P(B), equivalente a P(A|B)=P(A). El resultado de uno no modifica la probabilidad del otro, como en extracciones con reemplazamiento.

Modelo de probabilidad continuo con curva simétrica en campana, definido por su media μ y desviación típica σ. Se tipifica con Z=(X−μ)/σ para usar la tabla N(0,1).

Medida de centralización que se obtiene sumando todos los datos y dividiendo entre su número. En una distribución de frecuencias se calcula como suma de xᵢ·fᵢ dividida entre el total de datos.

Medida de dispersión igual a la raíz cuadrada de la varianza. Indica cuánto se alejan los datos de la media y se usa para tipificar valores en la distribución normal.