Madrid PAU Mathematics II flashcards

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Indeterminación 0/0

Cociente en el que numerador y denominador tienden a cero. Se resuelve factorizando, usando equivalencias asintóticas en x→0 o aplicando L'Hôpital cuando se cumplen sus hipótesis.

Regla de L'Hôpital

Si f y g son derivables cerca de a, ambas tienden a 0 o a infinito, y g' no se anula, entonces lim f/g = lim f'/g' siempre que este último límite exista.

Discontinuidad evitable

Situación en la que lim_{x→a} f(x) existe y es finito, pero f(a) no está definida o no coincide con ese límite. Se elimina redefiniendo f(a) como el valor del límite.

Teorema de Bolzano

Si f es continua en [a,b] y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, existe al menos un c en (a,b) con f(c)=0. Garantiza la existencia de raíces sin calcularlas.

Teorema de Weierstrass

Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado [a,b] alcanza en él su máximo y su mínimo absolutos. No exige derivabilidad ni monotonía.

Criterio de la segunda derivada

En un punto crítico con f'(c)=0: si f''(c)>0 hay mínimo relativo; si f''(c)<0 hay máximo relativo; si f''(c)=0 el criterio no decide y hay que estudiar el signo de f'.

Teorema fundamental del cálculo

Si f es continua en [a,b] y F(x)=∫_a^x f(t)dt, entonces F es derivable y F'(x)=f(x). Permite calcular integrales definidas mediante primitivas y la regla de Barrow.

Integración por partes

Fórmula ∫u dv = uv − ∫v du, útil con productos de tipos distintos como polinomio por exponencial o logaritmo. Se elige u el factor que se simplifica al derivar.

Área entre dos curvas

Si f(x) ≥ g(x) en [a,b], el área encerrada es ∫_a^b [f(x)−g(x)] dx. Si las curvas se cruzan, se parte el intervalo en los puntos de corte y se suman los valores absolutos.

Asíntota oblicua

Recta y=mx+n tal que lim_{x→∞} [f(x)−(mx+n)] = 0, con m = lim f(x)/x y n = lim (f(x)−mx), ambos finitos y m distinto de cero.

Rango de una matriz

Dimensión del subespacio generado por sus filas, igual al número de filas no nulas tras escalonar por Gauss y al orden del mayor menor no nulo.

Determinante de orden 3

Se calcula por la regla de Sarrus o desarrollando por una fila o columna con cofactores. Es nulo si hay filas proporcionales o una fila es combinación lineal de otras.

Matriz invertible

Matriz cuadrada con determinante distinto de cero. Equivale a rango máximo, columnas linealmente independientes y existencia de solución única en todo sistema Ax=b.

Teorema de Rouché-Fröbenius

El sistema Ax=b es compatible si y solo si rango(A) = rango(A|b). Es determinado si ese rango iguala el número de incógnitas e indeterminado si es menor.

Regla de Cramer

Con det A ≠ 0, la incógnita x_i vale det(A_i)/det A, donde A_i es la matriz A con la columna i sustituida por el vector de términos independientes b.

Sistema homogéneo

Sistema de la forma Ax=0. Siempre admite la solución trivial; tiene soluciones no triviales si y solo si det A = 0, es decir, si el rango de A es menor que n.

Matriz inversa por adjunta

A⁻¹ = adj(A)ᵀ/det A, donde adj(A) es la matriz de cofactores. Requiere det A ≠ 0; alternativa por Gauss-Jordan transformando [A|I] en [I|A⁻¹].

Propiedades del determinante

det(AB)=det A·det B, det(Aᵀ)=det A, det(A⁻¹)=1/det A y det(kA)=kⁿ det A en dimensión n. Intercambiar dos filas cambia el signo.

Discusión de sistemas con parámetro

Se calcula det A como polinomio en el parámetro y se identifican sus raíces. Para cada valor que anula el determinante se comparan los rangos de A y de la ampliada.

Producto vectorial

u×v es un vector perpendicular a u y a v, con módulo |u||v|sen θ igual al área del paralelogramo que determinan. Es nulo si y solo si u y v son paralelos.

Producto mixto

[u,v,w] = u·(v×w) se calcula como determinante de la matriz de componentes. Su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo; es cero si y solo si los vectores son coplanarios.

Ecuación general del plano

Ax+By+Cz+D=0, donde (A,B,C) es un vector normal al plano. El plano pasa por un punto P₀ si sus coordenadas satisfacen la ecuación.

Ecuaciones paramétricas de la recta

(x,y,z) = (x₀,y₀,z₀) + t(d₁,d₂,d₃), con t real. El punto (x₀,y₀,z₀) pertenece a la recta y (d₁,d₂,d₃) es su vector director.

Recta y plano paralelos

Ocurre cuando el vector director de la recta es perpendicular al normal del plano, es decir, d·n = 0. Si además un punto de la recta está en el plano, la recta está contenida.

Rectas que se cruzan

Rectas no paralelas que no se cortan y no son coplanarias. Se detecta porque el producto mixto (P₂−P₁, d₁, d₂) es distinto de cero.

Distancia punto-plano

d = |Ax₀+By₀+Cz₀+D| / √(A²+B²+C²), tomando la ecuación general del plano y las coordenadas del punto. Es la longitud del segmento perpendicular al plano.

Ángulo entre recta y plano

Se calcula con sen θ = |d·n|/(|d||n|), donde d es el director de la recta y n el normal del plano. Se toma siempre el ángulo agudo, entre 0 y 90 grados.

Probabilidad de la unión

P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). Si A y B son incompatibles, la intersección es vacía y basta con sumar sus probabilidades.

Probabilidad condicionada

P(A|B) = P(A∩B)/P(B), definida cuando P(B) es mayor que cero. Expresa la probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B y modifica el espacio muestral.

Teorema de Bayes

P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)P(B|Aᵢ) / Σⱼ P(Aⱼ)P(B|Aⱼ). Permite invertir la condicionalidad y actualizar la probabilidad de una causa tras observar B.

Distribución binomial

Modela el número de éxitos en n ensayos independientes con probabilidad p constante: P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)^{n−k}, con E[X]=np y Var(X)=np(1−p).

Tipificación normal

Si X sigue N(μ,σ), entonces Z=(X−μ)/σ sigue N(0,1). Se usa para consultar la tabla de la normal estándar y calcular probabilidades de intervalos.

Intervalo de confianza para la media

Con desviación típica poblacional conocida: x̄ ± z_{α/2}·σ/√n. Para el 95 % de confianza se usa z = 1,96; para el 90 %, 1,645; para el 99 %, 2,576.