Madrid PAU Mathematics II cheat sheet

Límite lateral y límite: existe lim_{x→a} f(x) = L si y solo si los dos límites laterales existen y coinciden con L; si difieren, el límite no existe.

Indeterminaciones: 0/0, ∞/∞, ∞−∞, 0·∞, 1^∞, 0^0, ∞^0. Para 0/0 y ∞/∞ aplicar L'Hôpital solo si se cumple la hipótesis de que el cociente de derivadas tiene límite (finito o infinito).

Equivalencias en x→0: sen x ~ x, tan x ~ x, 1−cos x ~ x²/2, ln(1+x) ~ x, e^x−1 ~ x, (1+x)^α−1 ~ αx. Son la vía más rápida para resolver 0/0.

Continuidad en a: f(a) definida, lim_{x→a} f(x) existe y coincide con f(a). Discontinuidad evitable si el límite existe pero no coincide; de salto si los laterales son finitos y distintos; asintótica si algún lateral es infinito.

Teoremas clave: Bolzano (cambio de signo en [a,b] continuo ⇒ raíz), Weierstrass (continua en [a,b] alcanza máximo y mínimo), valor medio de Lagrange: f(b)−f(a) = f'(c)(b−a).

Derivada implícita: derivar F(x,y)=0 respecto de x tratando y como y(x) y despejar y'. Regla de la cadena: (f∘g)'(x) = f'(g(x))·g'(x).

Optimización: hallar f', resolver f'=0, clasificar con el signo de f'' (f''>0 mínimo, f''<0 máximo) o con el cambio de signo de f'; comprobar extremos del intervalo cerrado evaluando f.

Integración: Barrow ∫_a^b f = F(b)−F(a). Integración por partes ∫u dv = uv − ∫v du. Cambio de variable con dx = φ'(t)dt y ajuste de límites. Área entre curvas = ∫|f−g|; volumen de revolución alrededor de OX: π∫_a^b [f(x)]² dx.

Regla de la cadena para integrales impropias y cálculo de asíntotas: asíntota vertical donde el límite lateral es ±∞; horizontal si lim_{x→±∞} f(x) = L finito; oblicua y = mx+n con m = lim f(x)/x y n = lim (f(x)−mx), ambos finitos y m≠0.

Rango por Gauss: el rango es el número de filas no nulas de la matriz escalonada; las operaciones elementales (intercambiar filas, sumar múltiplo de una fila a otra) no cambian el rango, pero escalar una fila sí puede alterar el determinante.

Determinante 2×2: |a b; c d| = ad−bc. Determinante 3×3 por Sarrus o por desarrollo por una fila/columna con cofactores: det A = Σ_j a_ij (−1)^{i+j} M_ij.

Propiedades del determinante: det(AB)=det A·det B, det(Aᵀ)=det A, det(A⁻¹)=1/det A, det(kA)=kⁿ det A en dimensión n; si una fila es combinación lineal de otras, det = 0.

A invertible ⇔ det A ≠ 0 ⇔ rango A = n ⇔ columnas linealmente independientes ⇔ sistema Ax=b tiene solución única para todo b.

Rouché–Fröbenius: el sistema Ax=b es compatible ⇔ rango(A) = rango(A|b). Compatible determinado si ese rango común = n (número de incógnitas); indeterminado si es menor que n, con n−r parámetros libres.

Regla de Cramer (solo si det A ≠ 0): x_i = det(A_i)/det A, donde A_i es A con la columna i sustituida por b.

Cálculo de la inversa: A⁻¹ = adj(A)ᵀ/det A, o por Gauss-Jordan resolviendo [A|I] → [I|A⁻¹].

Sistemas homogéneos Ax=0: siempre compatibles; tienen solución distinta de la trivial ⇔ det A = 0 (⇔ rango A < n).

Discusión con parámetro: calcular det A como polinomio en el parámetro, identificar los valores que lo anulan, y estudiar por separado el rango de A y de la ampliada en cada caso.

Producto escalar: u·v = |u||v|cos θ; ortogonalidad ⇔ u·v = 0. Producto vectorial: u×v es perpendicular a ambos, |u×v| = |u||v|sen θ = área del paralelogramo; u×v = 0 ⇔ u y v son paralelos.

Producto mixto [u,v,w] = u·(v×w) = determinante de la matriz de componentes; su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo. Coplanarios ⇔ producto mixto = 0.

Recta: forma vectorial (x,y,z) = P₀ + t·d; forma continua (x−x₀)/d₁ = (y−y₀)/d₂ = (z−z₀)/d₃ con dᵢ ≠ 0; forma paramétrica con t ∈ ℝ. El vector d es director.

Plano: ecuación general Ax+By+Cz+D = 0 con normal n = (A,B,C); pasa por P₀ si A x₀+B y₀+C z₀+D = 0. Forma punto-normal: n·(X−P₀) = 0.

Posiciones relativas recta-plano: sustituir la recta en el plano. Si el coeficiente de t no se anula, se cortan en un punto; si se anula y no hay identidad, recta paralela; si se anula y hay identidad, recta contenida en el plano.

Dos planos: paralelos si sus normales son proporcionales y los términos independientes no guardan la misma proporción; coincidentes si toda la terna de coeficientes es proporcional; se cortan en una recta en otro caso.

Dos rectas: comparar vectores directores (paralelas o no) y comprobar si comparten punto. Si no son paralelas y el producto mixto (P₂−P₁, d₁, d₂) = 0, se cortan; si ≠ 0, se cruzan.

Distancias: punto-plano d = |Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²); punto-recta d = |(P−P₀)×d|/|d|; entre planos paralelos, la misma fórmula con un punto de uno de ellos.

Ángulos: entre rectas, cos θ = |d₁·d₂|/(|d₁||d₂|); entre planos, el ángulo entre normales; entre recta y plano, sen θ = |d·n|/(|d||n|). Siempre se toma el ángulo agudo.

Axiomas y reglas: P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B); P(Aᶜ) = 1−P(A); P(A∩B) = P(A)·P(B|A). Sucesos incompatibles ⇒ P(A∩B) = 0.

Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A∩B)/P(B) con P(B) > 0. Independencia ⇔ P(A∩B) = P(A)P(B) ⇔ P(A|B) = P(A).

Teorema de la probabilidad total: P(B) = Σ P(Aᵢ)P(B|Aᵢ) para una partición {Aᵢ}. Bayes: P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)P(B|Aᵢ) / Σ P(Aⱼ)P(B|Aⱼ).

Variable aleatoria discreta: E[X] = Σ xᵢ pᵢ; Var(X) = E[X²] − (E[X])²; σ = √Var(X). Linealidad: E[aX+b] = aE[X]+b; Var(aX+b) = a²Var(X).

Binomial B(n,p): P(X=k) = C(n,k) pᵏ (1−p)^{n−k}; E[X] = np; Var(X) = np(1−p). Modela n ensayos independientes con probabilidad constante p.

Normal N(μ,σ): tipificar Z = (X−μ)/σ y usar la tabla de la normal estándar. Simetría: P(Z ≤ −z) = 1 − P(Z ≤ z); P(−z ≤ Z ≤ z) = 2Φ(z) − 1.

Aproximación normal de la binomial: si n es grande y np y n(1−p) son ambos mayores que 5, usar N(np, √(np(1−p))) con corrección por continuidad ±0,5.

Estadística descriptiva: media x̄ = Σxᵢ/n (o Σxᵢfᵢ/N con frecuencias); varianza poblacional σ² = Σ(xᵢ−x̄)²/N o muestral con N−1; desviación típica σ = √σ². Coeficiente de variación CV = σ/x̄.

Intervalo de confianza para la media con σ conocida: x̄ ± z_{α/2}·σ/√n; para una proporción: p̂ ± z_{α/2}·√(p̂(1−p̂)/n). Valores habituales: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %).