Madrid PAU Mathematics II common mistakes
Madrid PAU Mathematics II · Understand the traps and how to avoid them.
Al calcular un límite con indeterminación 0/0, el alumno sustituye el valor y escribe directamente el resultado numérico sin indicar que aplica L'Hôpital o sin factorizar, o aplica L'Hôpital cuando el límite no es 0/0 ni ∞/∞ (por ejemplo en un límite tipo 1^∞ o con raíces).
Memoriza L'Hôpital como receta universal y no verifica la forma indeterminada antes de derivar; además el examen pide justificar el procedimiento y el alumno prioriza llegar al número.
What to do instead
Antes de cualquier cálculo, clasificar la forma: sustituir, escribir 'forma 0/0' o '∞/∞' y solo entonces elegir herramienta. Practicar una rutina fija: sustitución → identificar indeterminación → factorizar/racionalizar/conjugado → L'Hôpital solo si procede → comprobar con valores cercanos. En 1^∞ usar la fórmula e^{lim (f-1)·g}. Escribir en el examen la forma indeterminada y el método elegido, porque puntúa.
Al estudiar continuidad o derivabilidad de una función definida a trozos, el alumno iguala los límites laterales para la continuidad pero luego afirma que es derivable sin comprobar que las derivadas laterales coinciden, o deriva cada trozo y evalúa en el punto sin justificar.
Confunde continuidad con derivabilidad y cree que 'si es continua y las fórmulas son suaves, es derivable'; no interioriza que la derivabilidad exige el límite del cociente incremental por ambos lados.
What to do instead
Separar siempre dos apartados: (1) continuidad: lim x→a⁻ = lim x→a⁺ = f(a); (2) derivabilidad: calcular f'(x) en cada trozo, hallar los límites laterales de f' en a y comprobar que coinciden y son finitos, citando que derivabilidad implica continuidad pero no al revés. Añadir un contraejemplo mental (|x| en 0) para recordar el orden lógico.
En optimización, el alumno deriva, iguala a cero y da por válido el primer punto crítico obtenido, sin comprobar que está en el dominio del problema ni usar la segunda derivada (o el signo de f') para decidir si es máximo o mínimo.
El objetivo es despejar la incógnita rápido; se omite la verificación porque parece burocrática, y no se traduce la restricción geométrica o física a un intervalo de validez.
What to do instead
Protocolo de cuatro pasos escritos: función objetivo → restricción y dominio → f'=0 y descartar soluciones fuera del dominio → criterio de la segunda derivada (f''<0 máximo, f''>0 mínimo) o tabla de signos de f'. Terminar respondiendo a la pregunta concreta con unidades. Resolver al menos un problema donde el punto crítico quede fuera del intervalo para ver por qué el dominio importa.
Al integrar por partes o por sustitución, el alumno olvida el cambio de límites en una integral definida, pierde el signo menos al elegir dv, o no vuelve a la variable original tras una sustitución en integral indefinida.
Se copia la fórmula ∫u dv = uv − ∫v du sin controlar cada factor; el cambio de límites se percibe como un detalle opcional y la fatiga algebraica hace abandonar la comprobación.
What to do instead
Escribir siempre la tabla u, du, dv, v antes de aplicar la fórmula y derivar el resultado para verificarlo. En integrales definidas con sustitución, cambiar los límites en el mismo renglón ('x=0→t=1'). En indefinidas, cerrar con '+C' y deshacer el cambio. Practicar tres integrales por partes típicas (x·e^x, x·ln x, x·sen x) hasta automatizar signos.
Al discutir un sistema según un parámetro, el alumno calcula el determinante de la matriz de coeficientes, lo iguala a cero y clasifica solo con eso, sin analizar por separado el caso de determinante nulo (rango de A frente al rango de la ampliada).
Se reduce el problema a 'det ≠ 0 → compatible determinado' y se olvida que el caso singular requiere comparar rangos; además los errores de signo en determinantes 3×3 pasan desapercibidos.
What to do instead
Estructurar la respuesta en dos ramas explícitas: caso det A ≠ 0 (Sistema Compatible Determinado, dar la solución por Cramer) y caso det A = 0 (sustituir el valor del parámetro y escalonar la matriz ampliada para comparar rangos: r(A)=r(A|b)<n compatible indeterminado, r(A)<r(A|b) incompatible). Verificar el determinante por la regla de Sarrus y con una sustitución numérica del parámetro.
Al calcular la inversa o resolver una ecuación matricial, el alumno escribe A⁻¹ = adj(A)/|A| pero olvida trasponer la matriz de adjuntos, o multiplica en el orden incorrecto al despejar X en AX = B (pone X = BA⁻¹ en lugar de A⁻¹B).
Se memoriza la fórmula sin entender que adj(A) se define sobre la traspuesta de cofactores; el producto matricial no es conmutativo y el álgebra escolar induce a 'pasar dividiendo' sin respetar el lado.
What to do instead
Escribir la fórmula completa A⁻¹ = (1/|A|)·adj(A)ᵀ y comprobar siempre A·A⁻¹ = I. Para ecuaciones matriciales, multiplicar por la inversa por el mismo lado en ambos miembros y dejar constancia: AX=B ⇒ A⁻¹AX=A⁻¹B ⇒ X=A⁻¹B. Hacer una comprobación numérica con matrices 2×2 sencillas.
En geometría del espacio, el alumno confunde vector director de la recta con vector normal del plano, o usa el producto vectorial de dos vectores de un plano como si fuera un punto de la recta, y al calcular distancias aplica la fórmula del punto a la recta sin tomar el módulo del producto vectorial.
Los objetos recta y plano se tratan como plantillas de fórmulas intercambiables; no se visualiza qué información codifica cada vector (dirección frente a orientación perpendicular).
What to do instead
Fijar una tabla mental: recta → punto + vector director; plano → punto + vector normal; el normal del plano se obtiene con el producto vectorial de dos vectores contenidos en él. Antes de aplicar una fórmula de distancia, identificar si es punto-recta, punto-plano o recta-plano y escribirla con módulo. Dibujar un esquema rápido y comprobar la solución sustituyendo el punto en la ecuación del plano o de la recta.
Al estudiar la posición relativa de rectas o planos, el alumno se limita a comprobar si los vectores directores son proporcionales y concluye 'se cortan' o 'son paralelas' sin resolver el sistema ni verificar si hay punto común (rectas que se cruzan).
Se confunde paralelismo de direcciones con intersección; el caso de rectas que se cruzan en el espacio no tiene análogo en el plano y se pasa por alto.
What to do instead
Clasificar con el sistema de cuatro incógnitas o con el producto mixto: si los vectores directores no son proporcionales, calcular el determinante formado por los dos directores y el vector entre puntos; distinto de cero ⇒ se cruzan, cero ⇒ se cortan. Para planos, comparar rangos de la matriz de coeficientes y la ampliada. Escribir la conclusión con el nombre exacto de la posición relativa.
En probabilidad condicionada, el alumno calcula P(A∩B) como P(A)·P(B) sin comprobar independencia, o invierte mal el condicionamiento escribiendo P(A|B) = P(B|A) en problemas de test diagnósticos.
La regla del producto para sucesos independientes se aplica por defecto; el teorema de Bayes se memoriza como fórmula sin asociar cada probabilidad a su población de origen.
What to do instead
Antes de multiplicar, justificar independencia (P(A∩B)=P(A)P(B) o dato del enunciado). En problemas de Bayes, construir una tabla de contingencia o un árbol con las dos ramas (tener/no tener la característica) y calcular P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B) con el denominador como probabilidad total. Comprobar que el resultado está entre 0 y 1 y que tiene sentido frente a la prevalencia.
En un contraste de hipótesis o intervalo de confianza, el alumno usa el valor crítico z en lugar de t cuando la desviación típica es muestral y n es pequeño, o no formula H0 y H1 antes de calcular, y concluye 'se acepta H0' en lugar de 'no se rechaza H0'.
Se aplican plantillas de fórmulas sin revisar los supuestos (σ conocida o no, tamaño muestral) y el lenguaje estadístico se copia de forma imprecisa.
What to do instead
Checklist previo: ¿σ poblacional conocida? → z; ¿desconocida y n<30? → t con n−1 grados de libertad. Escribir H0 y H1 en símbolos antes de calcular, fijar el nivel de significación, obtener el estadístico y compararlo con el valor crítico o el p-valor. Redactar la conclusión como 'no hay evidencia suficiente para rechazar H0' y relacionarla con el enunciado del problema.