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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Sea f(x) = (x² − 9)/(x − 3) para x ≠ 3. ¿Cuál es el valor de lim_{x→3} f(x)?

  1. No existe, porque f no está definida en x = 3
  2. 3
  3. 6 Correct answer.
  4. 0

Explanation

Al factorizar el numerador se obtiene (x − 3)(x + 3), de modo que para x ≠ 3 la función coincide con x + 3. El límite es entonces 3 + 3 = 6, independientemente de que f(3) no exista. La discontinuidad es evitable.

Question 2Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

¿Cuál es el valor de lim_{x→∞} (3x² − 5x + 1)/(2x² + 7)?

  1. ∞
  2. 3/2 Correct answer.
  3. −5/7
  4. 0

Explanation

Cuando el grado del numerador y del denominador coinciden, el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes de mayor grado. Aquí es 3/2, y los términos de menor grado son despreciables.

Question 3Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

La función f(x) = 1/(x − 2)² tiene en x = 2 una discontinuidad de tipo:

  1. Evitable
  2. Asintótica (infinita) Correct answer.
  3. De salto finito
  4. De salto infinito con límites laterales finitos y distintos

Explanation

Al acercarse a x = 2 el denominador tiende a 0 por la derecha (es un cuadrado, siempre positivo), por lo que f(x) → +∞. El límite no es finito y la recta x = 2 es una asíntota vertical.

Question 4Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Sea f(x) = x³ − 3x. ¿En qué puntos se anula f′(x)?

  1. x = −√3 y x = √3
  2. Solo x = 0
  3. x = −1 y x = 1 Correct answer.
  4. x = 3

Explanation

La derivada es f′(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1), que se anula cuando x² = 1, es decir, en x = −1 y x = 1. Estos son los puntos críticos donde la tangente es horizontal.

Question 5Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

¿Cuál es la derivada de f(x) = x·ln(x) para x > 0?

  1. x·ln(x) + 1
  2. ln(x) + 1 Correct answer.
  3. 1/x
  4. ln(x)

Explanation

Aplicando la regla del producto con u = x y v = ln(x): f′ = 1·ln(x) + x·(1/x) = ln(x) + 1. El término x·(1/x) se simplifica a 1.

Question 6Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Calcule ∫_{0}^{1} (3x² + 2x) dx.

  1. 3
  2. 2 Correct answer.
  3. 1
  4. 5/2

Explanation

Una primitiva es x³ + x². Evaluando entre 0 y 1 se obtiene (1 + 1) − (0 + 0) = 2. La regla de Barrow exige restar el valor en el extremo inferior.

Question 7Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

¿Cuál es el valor de lim_{x→0} (sen x)/x?

  1. 0
  2. No existe
  3. ∞
  4. 1 Correct answer.

Explanation

Es un límite fundamental del cálculo: el cociente sen x / x tiende a 1 cuando x tiende a 0, con x en radianes. Geométricamente expresa que sen x ≈ x para x pequeño.

Question 8Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

La recta tangente a y = x² en el punto x = 2 tiene pendiente:

  1. 1/4
  2. 4 Correct answer.
  3. 2
  4. 8

Explanation

La pendiente de la tangente es la derivada evaluada en el punto: y′ = 2x, de modo que en x = 2 vale 4. La ecuación sería y − 4 = 4(x − 2).

Question 9Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Sea f(x) = (x² − 1)/(x − 1) si x ≠ 1, y f(1) = k. ¿Qué valor de k hace f continua en x = 1?

  1. Ningún valor de k la hace continua
  2. k = 1
  3. k = 2 Correct answer.
  4. k = 0

Explanation

Para x ≠ 1, f(x) = x + 1, cuyo límite en x = 1 es 2. La continuidad exige f(1) = lim_{x→1} f(x), por lo que k debe ser 2.

Question 10Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

La función f(x) = x³ − 3x es creciente en:

  1. (0, +∞)
  2. Todo ℝ
  3. (−∞, −1) ∪ (1, +∞) Correct answer.
  4. (−1, 1)

Explanation

f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1), que es positivo fuera del intervalo [−1, 1]. Por tanto f crece en (−∞, −1) y en (1, +∞), y decrece entre −1 y 1.

Question 11Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Calcule lim_{x→0} (1 − cos x)/x².

  1. ∞
  2. 1/2 Correct answer.
  3. 0
  4. 1

Explanation

Multiplicando por el conjugado, (1 − cos x)/x² = sen²x / (x²(1 + cos x)), y como sen x / x → 1 y 1 + cos x → 2, el límite es 1/2. También se obtiene con la regla de L'Hôpital aplicada dos veces.

Question 12Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Sea F(x) = ∫_{0}^{x} (t² + 1) dt. ¿Cuánto vale F′(x)?

  1. x² + 1 Correct answer.
  2. 2x
  3. (x³/3) + x
  4. x²

Explanation

Por el teorema fundamental del cálculo, la derivada de una integral definida con límite superior variable es el integrando evaluado en ese límite. Así F′(x) = x² + 1.

Question 13Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

¿En qué puntos tiene f(x) = x³ − 3x² + 4 puntos de inflexión?

  1. x = 0 y x = 2
  2. x = 2
  3. x = 1 Correct answer.
  4. No tiene puntos de inflexión

Explanation

f″(x) = 6x − 6, que se anula en x = 1 y cambia de signo allí (negativa antes, positiva después). Por tanto hay un único punto de inflexión en x = 1.

Question 14Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Calcule el área del recinto limitado por la parábola y = x² y la recta y = 4.

  1. 16/3
  2. 32/3 Correct answer.
  3. 64/3
  4. 8

Explanation

Los cortes son x = −2 y x = 2, donde x² = 4. El área es ∫_{−2}^{2} (4 − x²) dx = [4x − x³/3] de −2 a 2 = (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 32/3.

Question 15Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Sea f(x) = x/(x² + 1). ¿Cuál es su asíntota horizontal cuando x → +∞?

  1. y = 1/2
  2. No tiene asíntota horizontal
  3. y = 0 Correct answer.
  4. y = 1

Explanation

El grado del denominador (2) supera al del numerador (1), por lo que el cociente tiende a 0 cuando x → ±∞. La recta y = 0 es asíntota horizontal por ambos lados.

Question 16Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Aplicando la regla de L'Hôpital, lim_{x→0} (e^x − 1 − x)/x² es igual a:

  1. 2
  2. 1
  3. 1/2 Correct answer.
  4. 0

Explanation

El cociente es 0/0. Derivando numerador y denominador: (e^x − 1)/(2x), aún 0/0; derivando otra vez: e^x/2 → 1/2. Es necesario aplicar L'Hôpital dos veces.

Question 17Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

La función f(x) = |x − 3| en x = 3 presenta:

  1. Continuidad pero no derivabilidad Correct answer.
  2. Discontinuidad de salto
  3. Derivabilidad con f′(3) = 0
  4. Discontinuidad evitable

Explanation

El valor absoluto es continuo en todo ℝ, pero en el punto donde se anula el argumento la gráfica tiene un pico. Las derivadas laterales valen −1 y 1, distintas, por lo que no existe f′(3).

Question 18Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Halle el máximo absoluto de f(x) = x³ − 3x en el intervalo [0, 2].

  1. 2, en x = 2 Correct answer.
  2. −2, en x = 1
  3. 0, en x = 0
  4. 4, en x = 2

Explanation

Los candidatos son los extremos y los puntos críticos interiores. f(0) = 0, f(1) = −2 y f(2) = 2; el mayor valor es 2, alcanzado en x = 2. En x = 1 hay un mínimo local.

Question 19Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Sea f(x) = ln(x² + 1). Su derivada es:

  1. ln(2x)
  2. 2x/(x² + 1) Correct answer.
  3. 1/(x² + 1)
  4. 2x

Explanation

Por la regla de la cadena, la derivada de ln(u) es u′/u. Con u = x² + 1 y u′ = 2x se obtiene 2x/(x² + 1).

Question 20Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Calcule ∫ x·e^x dx.

  1. (x²/2)·e^x + C
  2. e^x + C
  3. x·e^x + e^x + C
  4. x·e^x − e^x + C Correct answer.

Explanation

Integrando por partes con u = x y dv = e^x dx, resulta x·e^x − ∫ e^x dx = x·e^x − e^x + C. Conviene elegir u como el polinomio para que baje de grado.

Question 21Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Sea f(x) = x⁴ − 2x². Determine la naturaleza del punto crítico x = 0.

  1. Mínimo local
  2. Punto de inflexión sin extremo
  3. No es punto crítico
  4. Máximo local Correct answer.

Explanation

f′(x) = 4x³ − 4x = 4x(x² − 1), que se anula en x = 0, ±1. Como f″(x) = 12x² − 4, en x = 0 se tiene f″(0) = −4 < 0, luego es un máximo local.

Question 22Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Sea f(x) = x³ + ax. ¿Para qué valores de a es f estrictamente creciente en todo ℝ?

  1. a > 0 Correct answer.
  2. Para ningún valor de a
  3. a ≥ 0
  4. a < 0

Explanation

f′(x) = 3x² + a. Para que sea positiva en todo ℝ hace falta a > 0, ya que el mínimo de 3x² es 0 y se alcanza en x = 0. Si a = 0 la derivada se anula en x = 0 y la monotonía estricta falla.

Question 23Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Si lim_{x→2} f(x) = 5 y f(2) = 3, ¿qué se puede afirmar sobre f en x = 2?

  1. Tiene una asíntota vertical
  2. Tiene una discontinuidad de salto
  3. Es continua y derivable
  4. Tiene una discontinuidad evitable Correct answer.

Explanation

El límite existe y es finito, pero no coincide con el valor de la función, ya que 5 ≠ 3. Esa discrepancia define una discontinuidad evitable, que se elimina redefiniendo f(2) = 5.

Question 24Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Calcule lim_{x→+∞} (√(x² + 3x) − x).

  1. 0
  2. 3/2 Correct answer.
  3. 3
  4. ∞

Explanation

Multiplicando por el conjugado: (3x)/(√(x² + 3x) + x). Dividiendo numerador y denominador entre x se obtiene 3/(√(1 + 3/x) + 1) → 3/2. No es una resta infinita sino una indeterminación ∞ − ∞.

Question 25Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Sea F(x) = ∫_{0}^{x²} sen(t) dt. ¿Cuánto vale F′(x) en x = √(π/2)?

  1. 0, porque sen(t) es periódica
  2. cos(x²), que en ese punto vale 0
  3. sen(x²), que en ese punto vale 1
  4. 2x, que en ese punto vale √(2π) Correct answer.

Explanation

Aplicando el teorema fundamental junto con la regla de la cadena, F′(x) = sen(x²)·2x. En x = √(π/2) se tiene sen(π/2) = 1, luego F′ = 2√(π/2) = √(2π).

Question 26Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Calcule lim_{x→+∞} (3x² − 5x + 2)/(2x² + x − 1).

  1. −5
  2. +∞
  3. 3/2 Correct answer.
  4. 0

Explanation

En un cociente de polinomios del mismo grado, el límite en +∞ es el cociente de los coeficientes líderes: 3/2. Los términos de menor grado son despreciables frente a x².

Question 27Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

La función f(x) = 1/(x − 2)² tiene en x = 2 una asíntota vertical. ¿Cómo se comporta f(x) cuando x → 2?

  1. f(x) → +∞ por ambos lados Correct answer.
  2. f(x) → 0
  3. f(x) → −∞ por ambos lados
  4. f(x) tiene límites laterales finitos distintos

Explanation

El denominador (x − 2)² es siempre positivo y tiende a 0⁺, de modo que el cociente crece sin cota por la izquierda y por la derecha. Por eso el límite lateral es +∞ en ambos casos.

Question 28Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

¿Cuál es la derivada de f(x) = sen(x²)?

  1. 2x·cos(x²) Correct answer.
  2. −2x·cos(x²)
  3. 2x·sen(x²)
  4. cos(x²)

Explanation

Se aplica la regla de la cadena: la derivada del seno es el coseno y hay que multiplicar por la derivada del argumento x², que es 2x. El resultado es 2x·cos(x²).

Question 29Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Calcule ∫ (2x + 1)⁵ dx.

  1. (2x + 1)⁶/6 + C
  2. (2x + 1)⁶ + C
  3. (2x + 1)⁶/12 + C Correct answer.
  4. 5(2x + 1)⁴ + C

Explanation

Al integrar una potencia de una función lineal se divide por el exponente incrementado y también por la derivada interna 2. Así se obtiene (2x + 1)⁶/(6·2) + C.

Question 30Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Sea f(x) = x²·ln x definida para x > 0. ¿Cuál es f′(x)?

  1. x·ln x + x
  2. 2x·ln x + x Correct answer.
  3. 2x + 1/x
  4. 2x·ln x

Explanation

Se aplica la regla del producto: (x²)′·ln x + x²·(ln x)′ = 2x·ln x + x²·(1/x). Simplificando, f′(x) = 2x·ln x + x.

Question 31Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

La integral definida ∫_{−1}^{1} x³ dx vale:

  1. 2
  2. 0 Correct answer.
  3. 1/4
  4. −2

Explanation

x³ es una función impar y el intervalo [−1, 1] es simétrico respecto del origen, por lo que las áreas con signo se cancelan. También se comprueba integrando: [x⁴/4] de −1 a 1 = 1/4 − 1/4 = 0.

Question 32Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

¿Cuál es el dominio de continuidad de f(x) = (x + 3)/(x² − 9)?

  1. ℝ \ {−3, 3} Correct answer.
  2. ℝ
  3. ℝ \ {3}
  4. ℝ \ {−3}

Explanation

El denominador se anula cuando x² = 9, es decir, en x = 3 y x = −3. En esos puntos la función no está definida y presenta discontinuidades; en el resto es continua por ser cociente de polinomios.

Question 33Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Si f′(c) = 0 y f″(c) < 0, ¿qué se concluye en x = c?

  1. f tiene un mínimo relativo en c
  2. f tiene un máximo relativo en c Correct answer.
  3. f tiene un punto de inflexión en c
  4. f no está definida en c

Explanation

El criterio de la segunda derivada indica que si la primera derivada se anula y la segunda es negativa, la función es cóncava hacia abajo en c. Por tanto, c es un máximo relativo.

Question 34Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Calcule lim_{x→1} (x³ − 1)/(x − 1).

  1. 3 Correct answer.
  2. 1
  3. 0
  4. +∞

Explanation

Se factoriza x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1) y se simplifica con el denominador. El límite es entonces 1 + 1 + 1 = 3, que también se obtiene aplicando L'Hôpital.

Question 35Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Halle la recta tangente a y = e^(2x) en x = 0.

  1. y = x + 1
  2. y = 2x + 1 Correct answer.
  3. y = e·x + 1
  4. y = 2x

Explanation

En x = 0, f(0) = e⁰ = 1 y f′(x) = 2e^(2x), luego f′(0) = 2. La tangente es y − 1 = 2(x − 0), es decir, y = 2x + 1.

Question 36Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Calcule ∫ x·cos x dx.

  1. −x·cos x + sen x + C
  2. x·cos x − sen x + C
  3. x·sen x + cos x + C Correct answer.
  4. x·sen x − cos x + C

Explanation

Integrando por partes con u = x y dv = cos x dx, se obtiene x·sen x − ∫ sen x dx = x·sen x + cos x + C. Derivando el resultado se recupera el integrando.

Question 37Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Sea f(x) = x³ − 6x² + 9x. ¿En qué intervalos es f decreciente?

  1. (−∞, 1) ∪ (3, +∞)
  2. (0, 2)
  3. (3, +∞) solamente
  4. (1, 3) Correct answer.

Explanation

f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3). La derivada es negativa entre sus raíces, es decir, en (1, 3), donde f decrece.

Question 38Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Calcule lim_{x→+∞} (2x + 3)/(√(x² + 1)).

  1. 0
  2. 2 Correct answer.
  3. 1
  4. +∞

Explanation

Para x > 0 se tiene √(x² + 1) = x√(1 + 1/x²). Dividiendo numerador y denominador entre x, el límite es 2/√1 = 2.

Question 39Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

¿Qué valor de la integral ∫_{0}^{π} sen x dx corresponde al área del recinto entre la curva y el eje OX en [0, π]?

  1. 2 Correct answer.
  2. 1
  3. 0
  4. π

Explanation

Una primitiva de sen x es −cos x. Evaluando entre 0 y π: −cos π − (−cos 0) = 1 + 1 = 2, que coincide con el área porque sen x ≥ 0 en ese intervalo.

Question 40Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Sea f(x) = (x² − 4)/(x − 2) para x ≠ 2. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta f en x = 2?

  1. Evitable, pues el límite existe y vale 4 Correct answer.
  2. Asintótica, con límite infinito
  3. No hay discontinuidad porque f(2) = 0
  4. De salto finito, con límites laterales 4 y −4

Explanation

Factorizando, x² − 4 = (x − 2)(x + 2), de modo que f(x) = x + 2 para x ≠ 2. El límite en x = 2 existe y vale 4, pero f no está definida allí: la discontinuidad es evitable.

Question 41Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Calcule lim_{x→0} (tan x − x)/x³.

  1. 0
  2. 1/3 Correct answer.
  3. +∞
  4. 1

Explanation

Es una indeterminación 0/0. Aplicando L'Hôpital dos veces se llega a lim (2sec²x·tan x)/(6x) y, usando que tan x ~ x, el resultado es 1/3. También se obtiene con el desarrollo de Taylor de tan x.

Question 42Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Sea F(x) = ∫_{1}^{x} (t³ + t) dt. ¿Cuánto vale F″(1)?

  1. 4 Correct answer.
  2. 2
  3. 0
  4. 1

Explanation

Por el teorema fundamental del cálculo, F′(x) = x³ + x. Derivando de nuevo, F″(x) = 3x² + 1, y en x = 1 resulta 3 + 1 = 4.

Question 43Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Estudie la continuidad de f(x) = x·sen(1/x) si x ≠ 0, y f(0) = 0.

  1. f presenta una discontinuidad de salto en x = 0
  2. f es continua en x = 0 porque el límite vale 0 Correct answer.
  3. f tiene una asíntota vertical en x = 0
  4. f no está acotada cerca de x = 0

Explanation

Como |sen(1/x)| ≤ 1, se cumple |x·sen(1/x)| ≤ |x|, y el límite cuando x → 0 es 0 por el teorema del encaje. Al coincidir con f(0) = 0, la función es continua en el origen.

Question 44Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Halle el área del recinto limitado por y = x³ y la recta y = x en el primer cuadrante (x ≥ 0).

  1. 1
  2. 1/2
  3. 1/4 Correct answer.
  4. 1/3

Explanation

En [0, 1] las curvas se cortan en x = 0 y x = 1, y la recta y = x queda por encima de y = x³. El área es ∫_{0}^{1} (x − x³) dx = 1/2 − 1/4 = 1/4.

Question 45Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Sea f(x) = x⁴ − 4x³. ¿Cuántos puntos de inflexión tiene?

  1. Tres, en x = 0, 2 y 3
  2. Dos, en x = 0 y x = 2
  3. Ninguno
  4. Uno, en x = 2 Correct answer.

Explanation

f′(x) = 4x³ − 12x² y f″(x) = 12x² − 24x = 12x(x − 2). La segunda derivada cambia de signo en x = 0 y en x = 2, pero en x = 0 la función no cambia de concavidad de forma efectiva; el único cambio real de concavidad se produce en x = 2, donde f‴ ≠ 0.

Question 46Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Calcule lim_{x→0⁺} x·ln x.

  1. 1
  2. +∞
  3. −∞
  4. 0 Correct answer.

Explanation

Es una indeterminación 0·(−∞). Escribiendo x·ln x = ln x/(1/x) y aplicando L'Hôpital se obtiene lim (1/x)/(−1/x²) = lim (−x) = 0.

Question 47Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Sea f(x) = x²·e^(−x). ¿Cuál es su máximo absoluto en [0, +∞)?

  1. 1/e, alcanzado en x = 1
  2. 4/e², alcanzado en x = 2 Correct answer.
  3. No existe máximo absoluto
  4. 0, alcanzado en x = 0

Explanation

f′(x) = e^(−x)(2x − x²) = x·e^(−x)(2 − x), que se anula en x = 0 y x = 2. Como f es positiva en (0, +∞), crece hasta x = 2 y luego decrece hacia 0, el máximo absoluto es f(2) = 4e^(−2).

Question 48Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Calcule ∫_{0}^{1} x·e^(x²) dx.

  1. e/2
  2. (e + 1)/2
  3. e − 1
  4. (e − 1)/2 Correct answer.

Explanation

Con el cambio u = x², du = 2x dx, la integral se transforma en (1/2)∫_{0}^{1} e^u du = (1/2)(e − 1).

Question 49Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Sea f(x) = ln(x)/x para x > 0. Determine si tiene máximo absoluto y dónde se alcanza.

  1. Sí, máximo absoluto en x = e con valor 1/e Correct answer.
  2. Tiene mínimo absoluto en x = e
  3. Sí, máximo absoluto en x = 1 con valor 0
  4. No tiene máximo porque f(x) → 0 cuando x → +∞

Explanation

f′(x) = (1 − ln x)/x², que se anula en x = e. Para x < e la derivada es positiva y para x > e es negativa, de modo que x = e es un máximo. Como f(e) = 1/e > 0 y f tiende a 0 en el infinito, es máximo absoluto.

Question 50Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones

Calcule lim_{x→0} (e^x − cos x − 2x)/x².

  1. 1
  2. 1/2 Correct answer.
  3. 0
  4. −1/2

Explanation

Aplicando L'Hôpital dos veces: el primer límite es (e^x + sen x − 2)/(2x), y el segundo (e^x + cos x)/2. En x = 0 resulta (1 + 1)/2 = 1/2.