Viabilidad de un plan de producción con parámetro k
Una cooperativa elabora tres tipos de zumo (X, Y, Z) mezclando tres concentrados. Por cada lote, el consumo de concentrado 1 es x + y + kz, el de concentrado 2 es x + ky + z y el de concentrado 3 es kx + y + z, donde x, y, z son los miles de litros de cada zumo y k ≥ 0 es un parámetro que fija la proporción de un aditivo común. El almacén dispone exactamente de 1 unidad de cada concentrado por lote, de modo que el sistema que describe el equilibrio es x + y + kz = 1, x + ky + z = 1, kx + y + z = 1. La cooperativa necesita saber para qué valores de k el plan es viable y si la solución es única. Además, el técnico de calidad sostiene que si k = 1 el problema tiene solución única porque las tres ecuaciones son idénticas; el consejo quiere una respuesta razonada antes de aprobar el lote piloto.
1. Discute la compatibilidad del sistema en función de k ≥ 0, utilizando el determinante de la matriz de coeficientes.
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Determinante. det A = 1·(k·1 − 1·1) − 1·(1·1 − 1·k) + k·(1·1 − k·k) = (k − 1) − (1 − k) + k(1 − k²) = 2(k − 1) + k(1 − k)(1 + k) = (k − 1)[2 − k(1 + k)] = (k − 1)(2 − k − k²) = −(k − 1)²(k + 2). Ceros. det A = 0 si k = 1 o k = −2. Como k ≥ 0, el único caso singular del dominio físico es k = 1. Discusión.
- Si k ≠ 1: det A ≠ 0 → rango A = rango A* = 3 = número de incógnitas → sistema compatible determinado, solución única. El plan es viable y queda totalmente fijado.
- Si k = 1: las tres ecuaciones se reducen a x + y + z = 1. Rango A = 1 y rango A* = 1 (el término independiente encaja), luego compatible indeterminado con 2 parámetros: el plan es viable pero no determina una producción única.
2. Resuelve el sistema para k = 0 y para k = 3, e interpreta el resultado en litros de cada tipo de zumo.
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Caso k = 0. El sistema es x + y = 1; x + z = 1; y + z = 1. Sumando las tres: 2(x + y + z) = 3 → x + y + z = 1,5. Restando a esta suma cada ecuación: z = 0,5, y = 0,5, x = 0,5. Solución única (0,5; 0,5; 0,5), es decir, 500 litros de cada zumo. Caso k = 3. El sistema es x + y + 3z = 1; x + 3y + z = 1; 3x + y + z = 1. Sumando: 5(x + y + z) = 3 → x + y + z = 0,6. Restando la segunda menos la primera: 2y − 2z = 0 → y = z; análogamente x = y. Por tanto x = y = z y, sustituyendo en la primera, 5x = 1 → x = 0,2. Solución única (0,2; 0,2; 0,2): 200 litros de cada tipo. Obsérvese que al crecer k el reparto sigue siendo simétrico pero el volumen total disminuye, porque el aditivo común consume más concentrado por litro.
3. Evalúa la afirmación del técnico de calidad para k = 1 y explica qué información adicional haría falta para cerrar el plan de producción.
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La afirmación es incorrecta. Que las tres ecuaciones coincidan no implica solución única: implica justamente lo contrario. Con k = 1 el sistema es equivalente a una sola ecuación con tres incógnitas, x + y + z = 1, y su conjunto de soluciones es un plano: infinitas soluciones dependientes de dos parámetros, por ejemplo (1 − λ − μ, λ, μ). El rango de la matriz es 1, no 3, y por tanto no puede haber solución única: un sistema con solución única exige determinante no nulo. Qué haría falta. Una restricción adicional independiente (una cuota de producción de uno de los zumos, un límite de capacidad de la línea o una condición de demanda mínima) que rebaje el número de grados de libertad. Sin ella, el lote piloto puede fabricarse de infinitas maneras y la decisión no es matemática sino de gestión.