Dron, techo plano y baliza simétrica
Un dron de inspección sobrevuela una nave industrial. El techo de la nave es el plano π: 2x − y + 2z = 6, en metros, con el origen en una esquina del suelo. El dron parte del punto A(1, 0, 1) y se desplaza en línea recta perpendicular al techo hasta la superficie. El plan de vuelo exige calcular la distancia de A al techo y las coordenadas del punto donde el dron toca el plano, y determinar el punto simétrico de A respecto del techo, donde debe instalarse una baliza de seguridad. También hay que estimar el ángulo que forma el techo con la claraboya, que es el plano σ: x + y + z = 0. Por último, el aparejador quiere saber si el triángulo que forma el techo con los tres ejes coordenados, es decir, sus puntos de corte con los ejes, tiene área suficiente para instalar una plataforma de 12 m².
1. Calcula la distancia de A al plano π, el punto de impacto del dron y el punto simétrico de A respecto de π.
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Distancia. d = |2·1 − 0 + 2·1 − 6|/√(2² + (−1)² + 2²) = |−2|/3 = 2/3 m. Recta perpendicular. Dirección normal n = (2, −1, 2): r: (x, y, z) = (1 + 2t, −t, 1 + 2t). Intersección con π. 2(1 + 2t) − (−t) + 2(1 + 2t) = 6 → 4 + 9t = 6 → t = 2/9. Punto de impacto: P = (1 + 4/9, −2/9, 1 + 4/9) = (13/9, −2/9, 13/9). Comprobación. |AP| = |t|·|n| = (2/9)·3 = 2/3, que coincide con la distancia calculada. Simétrico. A' = 2P − A = (26/9 − 1, −4/9 − 0, 26/9 − 1) = (17/9, −4/9, 17/9). El punto medio de AA' es P, como exige la simetría.
2. Halla el ángulo que forman el techo π y el plano de la claraboya σ: x + y + z = 0.
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Normales. n₁ = (2, −1, 2), |n₁| = 3; n₂ = (1, 1, 1), |n₂| = √3. Ángulo entre planos. El ángulo diedro se obtiene con el ángulo entre sus normales: cos θ = |n₁·n₂|/(|n₁||n₂|) = |2 − 1 + 2|/(3√3) = 3/(3√3) = 1/√3 ≈ 0,5774. θ = arccos(0,5774) ≈ 54,7° (o, equivalentemente, 0,955 rad). Matiz de interpretación. Se toma valor absoluto del producto escalar porque el diedro es por definición el ángulo agudo entre los planos; usar el signo daría el ángulo entre una normal y la opuesta, sin significado geométrico aquí. La inclinación relativa de 54,7° es notable: la claraboya no es perpendicular ni paralela al techo, por lo que la junta de unión necesitará un remate inclinado.
3. Determina los puntos de corte de π con los ejes coordenados y decide si el triángulo que forman alcanza los 12 m² exigidos.
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Cortes con los ejes.
- Eje X (y = z = 0): 2x = 6 → (3, 0, 0).
- Eje Y (x = z = 0): −y = 6 → (0, −6, 0).
- Eje Z (x = y = 0): 2z = 6 → (0, 0, 3). Área. Con B − A = (−3, −6, 0) y C − A = (−3, 0, 3): (B − A) × (C − A) = (−6·3 − 0·0, 0·(−3) − (−3)·3, 0 − 18) = (−18, 9, −18). |producto vectorial| = √(324 + 81 + 324) = √729 = 27. Área = 27/2 = 13,5 m². Volumen asociado (control). V = |det(A, B, C)|/6 = |3·(−6)·3|/6 = 9 m³, coherente con un tetraedro de área 13,5 y altura 2 (3·V/Área = 27/13,5 = 2 unidades). Decisión. 13,5 m² > 12 m², así que la plataforma cabe, pero el margen es de solo 1,5 m² (un 12,5 %): conviene reservar ese excedente para anclajes.