Escáner óptico: probabilidad total, Bayes y la promesa del comercial
Una fábrica de componentes electrónicos tiene dos líneas de montaje. La línea A produce el 60 % de la producción diaria y la línea B el 40 % restante. El control histórico indica que el 2 % de las piezas de A y el 5 % de las de B son defectuosas. Antes de enviar un pedido, todas las piezas pasan por un escáner óptico: detecta el 95 % de las piezas defectuosas, pero marca como defectuosa el 4 % de las correctas. El jefe de producción quiere tres respuestas: la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa; la probabilidad de que, dado que el escáner la ha marcado, sea realmente defectuosa; y, en un lote de 10 piezas independientes, la probabilidad de que el escáner marque al menos una. El comercial ha prometido al cliente que «menos del 5 % de las piezas marcadas son buenas», y el jefe de producción desconfía de esa frase.
1. Calcula la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa y la de que sea defectuosa sabiendo que el escáner la ha marcado.
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Sucesos. A = procede de la línea A, B = línea B, D = defectuosa, M = marcada por el escáner. Datos: P(A) = 0,60; P(B) = 0,40; P(D|A) = 0,02; P(D|B) = 0,05; P(M|D) = 0,95; P(M|no D) = 0,04. Probabilidad total para D. P(D) = 0,60·0,02 + 0,40·0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032. Es decir, el 3,2 % de la producción es defectuosa; A y B forman una partición, así que la suma de los dos productos agota los casos. Probabilidad total para M. P(M) = 0,032·0,95 + 0,968·0,04 = 0,0304 + 0,038720 = 0,069120. Bayes. P(D|M) = 0,0304/0,069120 ≈ 0,4398, es decir, el 44,0 %. Solo algo menos de la mitad de las piezas marcadas son realmente defectuosas: el escáner tiene muchos falsos positivos porque el 96,8 % de las piezas son buenas y el 4 % de ellas ya genera más marcas que el total de defectos reales.
2. Contrasta con cálculo la afirmación del comercial de que menos del 5 % de las piezas marcadas son buenas.
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Traducción. «Piezas marcadas que son buenas» = P(no D|M) = 1 − P(D|M). Con el resultado anterior: P(no D|M) = 1 − 0,4398 ≈ 0,5602, es decir, el 56,0 %. Contraste directo. P(no D|M) = P(M|no D)·P(no D)/P(M) = 0,04·0,968/0,069120 = 0,038720/0,069120 ≈ 0,5602. Coincide. Conclusión. La afirmación es falsa: no solo no es «menos del 5 %», sino que la mayoría de las piezas marcadas (56 %) son buenas. El error del comercial probablemente consiste en confundir P(D|M) con P(M|D): la probabilidad de marcar una pieza buena (4 %) no es la probabilidad de que una pieza marcada sea buena (56 %). Para que la promesa fuese cierta, el falso positivo tendría que bajar a valores ínfimos, o habría que aumentar mucho la prevalencia real de defectos.
3. En un lote de 10 piezas independientes, calcula la probabilidad de que el escáner marque al menos una y comenta la hipótesis de independencia.
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Modelo. Número de marcas en 10 piezas, X ~ B(10; p) con p = P(M) = 0,069120. Complementario. P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − 0,069120)^10 = 1 − 0,930880^10. Cálculo: 0,930880^10 ≈ 0,4886. P(X ≥ 1) ≈ 0,5114, es decir, algo más del 51 %. Detalle. También P(X = 1) = C(10,1)·0,069120·0,930880^9 ≈ 10·0,069120·0,5248 ≈ 0,3627, y P(X = 2) ≈ 0,1210; el resto de la masa se reparte en valores mayores. La suma de 0,3627 + 0,1210 + … debe dar 0,5114, lo que sirve de control. Sobre la independencia. El supuesto es discutible en producción real: los defectos suelen agruparse por turnos, por lote de materia prima o por deriva de la máquina, lo que genera correlación positiva. Con correlación, la varianza de X aumenta y la probabilidad de «al menos una marca» se aleja del valor binomial; conviene verificar la estabilidad del proceso por turnos antes de usar este cálculo en un contrato.