Envasadora de 500 mL: calibración y tamaño de muestra
Una envasadora llena botellas de 500 mL. El volumen servido sigue una distribución normal con desviación típica σ = 8 mL, valor que el fabricante considera estable y bien calibrado. Tras una revisión, se toma una muestra aleatoria de 25 botellas y se obtiene un volumen medio de 496,5 mL. La dirección quiere saber si la máquina sigue centrada en 500 mL o si se ha desplazado, con un nivel de confianza del 95 %. Además, el servicio técnico afirma que, si la máquina está bien centrada, menos del 5 % de las botellas tendrá menos de 490 mL, y aporta un cálculo hecho con una hoja de cálculo. Por último, el jefe de calidad quiere fijar el tamaño de muestra necesario para que el margen de error del intervalo del 95 % sea de 2 mL, con el fin de incluirlo en el procedimiento anual de verificación.
1. Suponiendo que la máquina está centrada en 500 mL, evalúa la afirmación del servicio técnico sobre la proporción de botellas con menos de 490 mL.
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Tipificación. Si X ~ N(500, 8), entonces Z = (X − 500)/8 ~ N(0, 1). P(X < 490) = P(Z < (490 − 500)/8) = P(Z < −1,25). Valor. Por simetría, P(Z < −1,25) = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056. Conclusión. El 10,6 % de las botellas quedaría por debajo de 490 mL, más del doble del 5 % prometido: la afirmación es falsa aunque la máquina esté perfectamente centrada. El error habitual es mirar solo la distancia en mL (10 mL, «poco» frente a σ = 8) sin traducirla a unidades tipificadas; con σ = 8, 10 mL es 1,25 desviaciones típicas, no un caso extremo. Lectura complementaria. Solo se alcanzaría el 5 % si σ ≈ 6,08 mL, porque 10/1,645 ≈ 6,08. El problema es de dispersión, no de centrado.
2. Construye el intervalo de confianza del 95 % para la media con los datos de la muestra (n = 25, media 496,5 mL, σ = 8 mL) y decide si hay evidencia de desajuste.
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Fórmula. Al conocerse σ, el intervalo es x̄ ± z_{0,975}·σ/√n, con z_{0,975} = 1,96. Error típico. σ/√n = 8/√25 = 8/5 = 1,6 mL. Margen de error. 1,96·1,6 = 3,136 mL. Intervalo. (496,5 − 3,136; 496,5 + 3,136) = (493,36; 499,64) mL. Decisión. El valor de diseño 500 mL queda fuera del intervalo (por muy poco: 0,36 mL por encima del límite superior). Con un 95 % de confianza, la media real no es 500 mL y hay evidencia de desplazamiento a la baja; el intervalo cubre valores compatibles con un llenado medio en torno a 496,5 mL. Matiz profesional. La conclusión depende del nivel y del supuesto σ = 8: si σ se estimara de la muestra, el intervalo sería algo más ancho (t de Student con 24 grados) y el borde superior se acercaría a 500, debilitando la evidencia. Además, que el intervalo excluya 500 no implica que el desajuste sea relevante en términos de tolerancia legal.
3. Determina el tamaño de muestra necesario para que el margen de error del intervalo del 95 % sea de 2 mL y comenta la consecuencia práctica.
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Planteamiento. El margen es E = z·σ/√n. Despejando: √n = z·σ/E → n = (z·σ/E)². Cálculo. n = (1,96·8/2)² = (7,84)² = 61,47. Redondeo. Como n debe ser entero y hay que garantizar que el margen no supere 2 mL, se redondea hacia arriba: n = 62 botellas. Comprobación. Con n = 62, E = 1,96·8/√62 = 15,68/7,874 ≈ 1,99 mL ≤ 2 mL. Con n = 61 sería 15,68/7,810 ≈ 2,008 mL, ligeramente por encima del objetivo. Consecuencia práctica. Pasar de 25 a 62 botellas más que duplica el coste de cada verificación (se necesitan 37 botellas adicionales, un 148 % más) para ganar solo 1,14 mL de precisión. Como el error es proporcional a 1/√n, reducir el margen a la mitad exigiría cuadruplicar la muestra; conviene valorar si el procedimiento anual debe fijar 2 mL o un margen algo más holgado con menos coste.