Análisis: límites, continuidad, derivación, integración y aplicaciones
El Análisis es el bloque con más continuidad en la PAU de Madrid: casi siempre aparece en dos preguntas, una de límites, continuidad y derivación (con optimización o estudio de una función con parámetro) y otra de integración (primitivas y áreas). Se valora la justificación: no basta con dar el resultado, hay que verificar hipótesis y citar el teorema usado.
Límites y continuidad
- Indeterminaciones 0/0, ∞/∞, ∞−∞, 1^∞ y 0·∞: comparación de infinitos, multiplicar por el conjugado cuando hay raíces, y L'Hôpital solo si el cociente es 0/0 o ∞/∞ y ambas funciones son derivables cerca del punto.
- Continuidad en x = a: existe f(a), existe el límite y ambos coinciden. Discontinuidad evitable (el límite existe pero no coincide con f(a)), de salto (laterales finitos y distintos) y asintótica (algún lateral infinito).
- Teorema de Bolzano: f continua en [a,b] con f(a)·f(b) < 0 implica que existe c ∈ (a,b) con f(c) = 0. Justifica la existencia de raíz, no la localiza.
Derivadas y aplicaciones
- Derivabilidad implica continuidad; el recíproco es falso (|x| en 0).
- f' > 0 en un intervalo ⇒ f creciente; f'' > 0 ⇒ convexa. Los extremos relativos exigen f' = 0 y cambio de signo.
- En un intervalo cerrado, el máximo absoluto se busca entre los puntos críticos y los extremos f(a), f(b).
- Rolle y valor medio exigen continuidad en [a,b] y derivabilidad en (a,b): hay que comprobar ambas antes de aplicarlos.
Integración
- Regla de Barrow: ∫_a^b f(x)dx = F(b) − F(a) con F primitiva de f.
- Área entre curvas: ∫ |f − g|, calculando antes los puntos de corte para trocear el recinto.
- Integración por partes: ∫u dv = uv − ∫v du.
Ejemplo resuelto
Calcular lim_{x→0} (e^x − 1 − x)/x². Al sustituir sale 0/0 y las funciones son derivables, así que aplico L'Hôpital: (e^x − 1)/(2x), que sigue dando 0/0. Repito: e^x/2 → 1/2. El límite vale 1/2; el numerador tiene un cero de orden 2 en 0 y el denominador también, y la comparación de derivadas segundas (1 frente a 2) confirma el valor.
Errores que cuestan puntos
- Aplicar L'Hôpital en límites que no son 0/0 ni ∞/∞.
- Olvidar comprobar la indeterminación tras cada aplicación de L'Hôpital.
- Dar el máximo absoluto sin evaluar los extremos del intervalo.
- Integrar f − g sin dividir en los puntos de corte: pueden compensarse áreas con signos opuestos.
- Citar Rolle o Bolzano sin verificar la continuidad y la derivabilidad exigidas.