Álgebra lineal: matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
El Álgebra lineal de la PAU de Madrid combina cálculo matricial, determinantes y discusión de sistemas con parámetro. El patrón típico: una matriz con un parámetro k, discutir su rango o el sistema asociado y resolverlo cuando sea compatible. También aparecen ecuaciones matriciales del tipo AXB = C.
Determinantes y rango
- Propiedades: det(AB) = det A · det B; det(Aᵗ) = det A; det(A⁻¹) = 1/det A. Cambiar dos filas cambia el signo; sumar a una fila un múltiplo de otra no altera el determinante; multiplicar una fila por k lo multiplica por k.
- El rango es el orden del mayor menor no nulo. Si det A ≠ 0, el rango es n y A es invertible, con A⁻¹ = adj(A)ᵗ/det A.
Sistemas y Rouché–Capelli
- Sistema compatible ⇔ rango(A) = rango(A|b). Es determinado si ese rango coincide con el número de incógnitas e indeterminado si es menor.
- Con parámetro, discute por los valores que anulan los determinantes de los menores relevantes, no solo el de la matriz de coeficientes.
- Si A es cuadrada y det A ≠ 0, Cramer: x_i = det A_i/det A.
- Un sistema homogéneo es siempre compatible, y es indeterminado si el rango es menor que el número de incógnitas.
Ecuaciones matriciales
- AX = B ⇒ X = A⁻¹B; XA = B ⇒ X = BA⁻¹; AXB = C ⇒ X = A⁻¹CB⁻¹. Comprueba dimensiones antes de operar.
Ejemplo resuelto
Sea M la matriz 3×3 con k en la diagonal y 1 en el resto. Restando la primera fila a la segunda y a la tercera: F2 − F1 = (k−1)(−1, 1, 0) y F3 − F1 = (k−1)(−1, 0, 1). Sacando el factor (k−1) de cada una de esas dos filas, det M = (k−1)² · det[[k,1,1],[−1,1,0],[−1,0,1]]. El determinante que queda vale k·1 − 1·(−1) + 1·(1) = k + 2. Por tanto det M = (k−1)²(k+2), y el rango es 3 si k ≠ 1 y k ≠ −2; si k = −2 es 2; si k = 1, las tres filas coinciden y el rango es 1.
Errores que cuestan puntos
- Discutir anulando solo el determinante de A cuando hay menores de otro orden que también se anulan.
- Escribir A⁻¹B en una ecuación del tipo XA = B.
- Confundir compatible indeterminado con incompatible: ambos pueden tener det A = 0.
- Olvidar cómo afecta al determinante multiplicar o permutar filas.