Geometría analítica del espacio: vectores, rectas y planos
La geometría analítica del espacio pregunta vectores (escalar, vectorial y mixto), ecuaciones de rectas y planos, posiciones relativas, distancias y ángulos. Los ejercicios suelen encadenar apartados: obtener un plano, estudiar su posición respecto a una recta y calcular después una distancia o un ángulo.
Productos de vectores
- u·v = |u||v|cos θ; u·v = 0 ⇔ los vectores son perpendiculares.
- u×v es perpendicular a u y a v, y |u×v| es el área del paralelogramo que determinan. Ojo: u×v = −(v×u).
- El producto mixto [u,v,w] = u·(v×w) da, en valor absoluto, el volumen del paralelepípedo; vale 0 ⇔ los tres vectores son coplanarios.
Rectas y planos
- Recta: un punto más t veces un vector director. Plano: Ax + By + Cz + D = 0, con normal n = (A,B,C), o bien un punto y dos vectores directores.
- Plano que contiene a una recta y a un punto exterior P: n = v_r × (P − A), siendo A un punto de la recta.
- Posición relativa recta-plano: si n·v ≠ 0 se cortan en un punto; si n·v = 0, sustituye un punto de la recta para decidir entre paralela y contenida.
Distancias y ángulos
- d(P,π) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²).
- d(P,r) = |v × (P − A)| / |v|.
- Ángulo recta-plano: sen α = |v·n|/(|v||n|). Ángulo entre planos: coseno de sus vectores normales.
Ejemplo resuelto
Con r: (x,y,z) = (1,0,0) + t(1,1,1) y P(2,1,0), el plano que contiene a ambos tiene vectores directores v = (1,1,1) y AP = (1,1,0). Su normal es n = v × AP = (1·0 − 1·1, 1·1 − 1·0, 1·1 − 1·1) = (−1, 1, 0). Imponiendo que pase por (1,0,0): −(x − 1) + y = 0, es decir, x − y − 1 = 0. Comprobación con P: 2 − 1 − 1 = 0, luego el punto está en el plano.
Errores que cuestan puntos
- Usar el vector director de la recta como vector normal del plano.
- Invertir el orden del producto vectorial y arrastrar un signo erróneo.
- Declarar recta y plano paralelos sin comprobar si la recta está contenida.
- Emplear el coseno en el ángulo entre recta y plano, donde va el seno.
- Olvidar el valor absoluto en las fórmulas de distancia.