Probabilidad y estadística: condicionada, Bayes, binomial y normal
Probabilidad y estadística en la PAU de Madrid se centra en probabilidad condicionada, independencia, teorema de la probabilidad total y Bayes, casi siempre a partir de una tabla de contingencia o de un experimento en dos etapas, y en las distribuciones binomial y normal, incluida la aproximación de la binomial por la normal.
Probabilidad de sucesos
- P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B); P(Aᶜ) = 1 − P(A).
- P(A|B) = P(A∩B)/P(B), con P(B) > 0. A y B son independientes ⇔ P(A∩B) = P(A)P(B) ⇔ P(A|B) = P(A).
- Probabilidad total: P(B) = Σ P(A_i)·P(B|A_i) para una partición del espacio muestral. Bayes: P(A_i|B) = P(A_i)P(B|A_i)/P(B).
- En una tabla de contingencia, divide la casilla conjunta entre el total de la fila o columna que actúa como condición.
- Sucesos incompatibles (A∩B = ∅) no son lo mismo que independientes: con probabilidades no nulas, incompatibles implica dependientes.
Distribuciones
- Binomial B(n,p): P(X = k) = C(n,k)p^k(1−p)^{n−k}, con μ = np y σ = √(np(1−p)).
- Normal: tipifica z = (x − μ)/σ y usa la tabla; P(Z ≤ −z) = 1 − P(Z ≤ z) y P(a ≤ X ≤ b) = P(Z ≤ z_b) − P(Z ≤ z_a).
- Aproximación binomial → normal si np ≥ 5 y n(1−p) ≥ 5, con corrección de continuidad: P(X ≤ k) ≈ P(Z ≤ (k + 0,5 − μ)/σ).
Ejemplo resuelto
La máquina A fabrica el 60% de las piezas con un 2% de defectuosas; la B, el 40% con un 5%. P(defectuosa) = 0,6·0,02 + 0,4·0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032. Entonces P(A | defectuosa) = 0,012/0,032 = 0,375: aunque A produce la mayoría, solo el 37,5% de las piezas defectuosas salen de ella. Observa que el denominador es la probabilidad total, no P(A).
Errores que cuestan puntos
- Confundir P(A|B) con P(B|A), el error clásico en Bayes.
- Suponer independencia sin comprobarla con los datos del enunciado.
- Confundir la varianza np(1−p) con la desviación típica al tipificar.
- Olvidar la corrección de continuidad al aproximar la binomial por la normal.
- Multiplicar probabilidades de sucesos que no son independientes.