Repartiment pressupostari amb un coeficient revisable: discussió i inversa
Una cooperativa agroalimentària de Requena reparteix 12 milers d'euros de pressupost entre tres línies de transformació: x, y i z (en milers d'euros). La junta ha fixat unes regles de repartiment que depenen d'un coeficient de ponderació a, revisable cada exercici: a·x + y + z = 12, x + a·y + z = 12, x + y + a·z = 12. Enguany la junta ha proposat a = 4, però hi ha membres que volen tornar a a = 1, argumentant que així el repartiment és més flexible, i d'altres que parlen d'un valor negatiu (a = −2) que apareix en un informe antic i que ningú no sap interpretar. El gerent sospita que en algun d'aquests casos el sistema deixa de tindre solució única i vol saber-ho abans de la votació. A més, per a l'exercici següent es planteja fixar a = 0 i resoldre el repartiment amb la matriu inversa, perquè així es podrà repetir el càlcul ràpidament amb qualsevol pressupost inicial, no sols amb 12.
1. Calcula el determinant de la matriu del sistema en funció de a i discutix, per a tots els valors reals de a, si el sistema té solució única, infinites solucions o cap.
Read the worked answer
La matriu és M = [[a, 1, 1], [1, a, 1], [1, 1, a]] i el vector de termes independents b = (12, 12, 12).
Desenrotllant per la primera fila: |M| = a(a² − 1) − 1(a − 1) + 1(1 − a) = a³ − a − a + 1 + 1 − a = a³ − 3a + 2 = (a − 1)²(a + 2).
Per tant |M| = 0 només si a = 1 (arrel doble) o a = −2.
Cas a ≠ 1 i a ≠ −2. |M| ≠ 0, el rang de M és 3 i el de l'ampliada també (només té 3 files), així que per Rouché–Capelli el sistema és compatible determinat. Com que les tres equacions són simètriques respecte de x, y, z, la solució ha de tindre x = y = z; substituint en qualsevol equació: (a + 2)x = 12, és a dir x = 12/(a + 2). Solució única: (12/(a+2), 12/(a+2), 12/(a+2)).
Cas a = 1. Les tres equacions es reduïxen a x + y + z = 12: rang(M) = 1 = rang(M*) < 3, compatible indeterminat amb dos graus de llibertat, totes les solucions són (12 − s − t, s, t) amb s, t reals.
Cas a = −2. Sumant les tres equacions s'obté (a + 2)(x + y + z) = 36, és a dir 0 = 36, impossible: incompatible. Coherentment, rang(M) = 2 (el menor de les dues primeres files i columnes val (−2)(−2) − 1 = 3 ≠ 0), mentre que rang(M*) = 3, per exemple amb el menor format per les columnes 1, 2 i la de termes independents, que val 108.
2. Resol el sistema per al valor proposat enguany, a = 4, i digues si el repartiment resultant és equilibrat entre les tres línies.
Read the worked answer
Com que a = 4 ≠ 1 i ≠ −2, hi ha solució única i, per simetria, x = y = z = 12/(4 + 2) = 2. El repartiment és (2, 2, 2): 2 milers d'euros per a cada línia, completament equilibrat.
Comprovació directa: 4·2 + 2 + 2 = 12; 2 + 4·2 + 2 = 12; 2 + 2 + 4·2 = 12.
Observació d'interés per a la junta: el repartiment és equilibrat per a qualsevol a ≠ 1, −2, però la quantitat repartida per línia depén de a (12/(a+2)): amb a = 4 són 2 milers; amb a = 10 serien 1 miler; i si a s'aproxima a −2 des de valors majors que −2, la quantitat per línia creix sense límit.
3. Per a a = 0, calcula la matriu inversa i utilitza-la per a resoldre el sistema amb el pressupost de 12 milers d'euros. Comprova el resultat.
Read the worked answer
Amb a = 0, M₀ = [[0, 1, 1], [1, 0, 1], [1, 1, 0]] i |M₀| = (0 − 1)²(0 + 2) = 2 ≠ 0, així que és invertible.
Matriu de cofactors: C11 = 0·0 − 1·1 = −1; C12 = −(1·0 − 1·1) = 1; C13 = 1·1 − 0·1 = 1; C21 = −(1·0 − 1·1) = 1; C22 = 0·0 − 1·1 = −1; C23 = −(0·1 − 1·1) = 1; C31 = 1·1 − 0·1 = 1; C32 = −(0·1 − 1·1) = 1; C33 = 0·0 − 1·1 = −1.
Transposant (adjunta) i dividint per |M₀| = 2: M₀⁻¹ = (1/2)·[[−1, 1, 1], [1, −1, 1], [1, 1, −1]].
Solució: X = M₀⁻¹·(12, 12, 12)ᵗ. Primera component: (1/2)(−12 + 12 + 12) = 6; per simetria, y = z = 6. Resultat (6, 6, 6), que coincidix amb 12/(0 + 2) = 6.
Comprovació: 0·6 + 6 + 6 = 12; 6 + 0·6 + 6 = 12; 6 + 6 + 0·6 = 12. Correcte.