Valencian PAU Mathematics II key terms

Conjunt rectangular de nombres ordenats en files i columnes que es pot sumar, multiplicar per un escalar o multiplicar per una altra matriu compatible. La seva mida s'escriu files × columnes.

Matriu que s'obté canviant files per columnes: l'element de la posició (i, j) passa a la posició (j, i). Es denota A^t i compleix (AB)^t = B^t A^t.

Per a una matriu quadrada A, és la matriu A⁻¹ tal que A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Només existeix si el determinant és no nul; es calcula amb la matriu adjunta o per Gauss-Jordan.

Nombre associat a una matriu quadrada que indica si és invertible i quant escala les àrees o volums. Es calcula per recurrència amb menors o per la regla de Sarrus en ordre 3.

Determinant de la submatriu que queda en suprimir la fila i la columna d'un element donat. S'usa per calcular el determinant per adjunts i per obtenir la matriu adjunta.

Nombre màxim de files (o columnes) linealment independents. Coincideix amb l'ordre del menor no nul més gran i determina la compatibilitat dels sistemes d'equacions lineals.

Un sistema lineal és compatible si el rang de la matriu de coeficients iguala el rang de la matriu ampliada. Si aquest rang és menor que el nombre d'incògnites, el sistema és indeterminat.

Mètode per resoldre sistemes compatibles determinats: cada incògnita és el quocient entre el determinant de la matriu ampliada amb la columna corresponent substituïda i el determinant del sistema.

Sistema d'equacions lineals que té una única solució. Es caracteritza perquè el rang de la matriu de coeficients és igual al nombre d'incògnites i el determinant és no nul.

Sistema d'equacions lineals amb infinites solucions, expressades amb un o més paràmetres. Ocorre quan el rang de la matriu ampliada és menor que el nombre d'incògnites.

Sistema d'equacions lineals sense cap solució. Es detecta quan el rang de la matriu ampliada és estrictament més gran que el rang de la matriu de coeficients.

Segment orientat definit per les seves components respecte d'una base. Es caracteritza per mòdul, direcció i sentit, i permet operacions de suma i producte per un escalar.

Operació entre dos vectors que dóna un nombre: u·v = |u||v|cos θ. Serveix per calcular l'angle entre vectors i per comprovar la perpendicularitat quan el resultat és zero.

Operació entre dos vectors de l'espai que dóna un vector perpendicular a tots dos, amb mòdul igual a l'àrea del paral·lelogram que formen. S'usa per obtenir vectors normals i àrees.

Escalar [u, v, w] = u·(v×w), igual al determinant de les components. El seu valor absolut és el volum del paral·lelepíped i val zero si els tres vectors són coplanaris.

Propietat de tres o més vectors de l'espai de trobar-se en un mateix pla. Es comprova veient si el producte mixt és nul o si el rang de les seves components és menor que tres.

Expressió Ax + By + Cz + D = 0, on (A, B, C) és un vector normal al pla. Qualsevol punt del pla satisfà l'equació i el vector normal permet calcular distàncies i angles.

Vector perpendicular a tots els vectors continguts en un pla. Les seves components són els coeficients A, B i C de l'equació general del pla.

Expressió (x, y, z) = P + t·v, on P és un punt de la recta, v un vector director i t un paràmetre real. Descriu tots els punts de la recta en variar t.

Vector que indica la direcció d'una recta i permet escriure'n les equacions paramètriques o contínues. Qualsevol múltiple no nul seu serveix igualment com a vector director.

Classificació de com es tallen, coincideixen o no es troben rectes i plans a l'espai. Es determina estudiant el rang de la matriu de coeficients i la de termes independents.

Longitud del segment perpendicular des d'un punt al pla. Es calcula amb |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| dividit per l'arrel de A² + B² + C².

Angle format per una recta i un pla, o entre dues rectes, obtingut a partir del producte escalar dels vectors directors o normals. Sempre es pren l'angle agut corresponent.

Valor al qual s'aproximen les imatges d'una funció quan la variable s'acosta a un punt. Pot ser finit o infinit i no cal que coincideixi amb el valor de la funció en aquell punt.

Propietat d'una funció en un punt quan el límit existeix, la funció hi està definida i tots dos valors coincideixen. En un interval, la funció ha de ser contínua en tots els seus punts.

Taxa de variació instantània d'una funció respecte de la variable, interpretada com el pendent de la recta tangent. Es defineix com el límit del quocient incremental quan l'increment tendeix a zero.

Recta que toca una corba en un punt amb el mateix pendent que la derivada en aquell punt. La seva equació és y = f(a) + f'(a)(x − a).

Procés de trobar els valors màxims o mínims d'una funció, sovint sotmesa a restriccions. Es resol igualant la derivada a zero i classificant els punts crítics amb la segona derivada o el signe.

Punt on la corba canvia de concavitat. Es busca entre els punts on la segona derivada és zero o no existeix, comprovant que el signe d'aquesta derivada canvia.

Recta a la qual s'aproxima indefinidament la gràfica d'una funció. Pot ser vertical, horitzontal o obliqua, i es determina amb límits quan la variable o la imatge tendeixen a infinit.

Si una funció és contínua en un interval tancat i pren valors de signe oposat als extrems, aleshores existeix almenys un punt interior on la funció s'anul·la.

Si una funció és contínua en un interval tancat i derivable a l'interior, existeix un punt on la derivada iguala el pendent de la recta que uneix els extrems.

Nombre que representa l'àrea signada entre la gràfica d'una funció i l'eix horitzontal en un interval. Es calcula amb la regla de Barrow a partir d'una primitiva.

Funció la derivada de la qual és la funció donada. N'hi ha infinites, que difereixen en una constant, i s'usen per calcular integrals definides mitjançant la regla de Barrow.

Estableix que la derivada de la integral definida respecte del límit superior és la funció integrand. Connecta la integració i la derivació i justifica la regla de Barrow.

Superfície compresa entre dues funcions en un interval, calculada com la integral del valor absolut de la diferència. Cal trobar els punts de tall per fixar els límits d'integració.

Probabilitat que ocorri un esdeveniment B sabent que se n'ha produït un altre A. Es defineix com P(B|A) = P(A∩B)/P(A), sempre que P(A) sigui més gran que zero.

Dos esdeveniments són independents si la probabilitat de la seva intersecció és el producte de les probabilitats individuals, equivalent a P(B|A) = P(B).

Permet calcular la probabilitat d'un esdeveniment a partir d'un sistema complet d'esdeveniments incompatibles: es suma el producte de cada probabilitat condicionada pel seu succés.

Permet invertir una probabilitat condicionada: calcula P(A|B) a partir de P(B|A) i de les probabilitats prèvies. S'usa per actualitzar creences amb informació nova.

Model per al nombre d'èxits en n assajos independents amb probabilitat constant p. La seva funció de probabilitat és P(X = k) = C(n, k)·p^k·(1−p)^(n−k).

Distribució contínua simètrica definida per la mitjana i la desviació típica, amb forma de campana. La normal estàndard té mitjana zero i desviació típica u.

Transformació Z = (X − μ)/σ que converteix qualsevol variable normal en la normal estàndard. Permet usar les taules de probabilitat acumulada de la normal estàndard.

Quan n és gran i p no és extrem, la binomial s'aproxima per una normal amb mitjana np i desviació arrel de np(1−p). Sovint s'aplica la correcció de continuïtat.