Valencian PAU Mathematics II flashcards

32 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

Matriu invertible

Una matriu quadrada A és invertible si existeix A⁻¹ tal que AA⁻¹ = A⁻¹A = I. Això equival a det(A) ≠ 0.

Regla de Cramer

Per a un sistema compatible determinat Ax = b, la solució és xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), on Aᵢ és la matriu A amb la columna i substituïda pel vector b.

Rouché-Frobenius

Un sistema Ax = b és compatible si i només si rang(A) = rang(A|b). És determinat si aquest rang iguala el nombre d'incògnites; indeterminat si és menor.

Rang d'una matriu

El rang és el nombre màxim de files (o columnes) linealment independents. Es calcula escalonant la matriu o trobant el major menor no nul.

Producte escalar

u·v = |u||v|cos θ. Dues vectors són perpendiculars si el producte escalar és zero. El producte escalar és commutatiu i distributiu respecte de la suma.

Producte vectorial

u×v és un vector perpendicular a u i v, amb mòdul |u||v|sin θ. La seva direcció segueix la regla de la mà dreta; el producte és anticommutatiu.

Equació general del pla

ax + by + cz = d, on (a,b,c) és un vector normal al pla. Qualsevol punt P₀ del pla satisfà l'equació; el vector normal és perpendicular a tots els vectors del pla.

Distància punt-pla

La distància del punt P(x₀,y₀,z₀) al pla ax+by+cz+d=0 és |ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²).

Angle entre recta i pla

Si d és el vector director de la recta i n el normal del pla, l'angle θ entre ells compleix sin θ = |d·n|/(|d||n|).

Continuïtat en un punt

f és contínua en x=a si existeix f(a), existeix lim_{x→a} f(x) i tots dos coincideixen. Els límits laterals han de ser iguals.

Derivada en un punt

f'(a) = lim_{h→0} [f(a+h)−f(a)]/h. Si f és derivable en a, llavors és contínua en a; el recíproc no sempre és cert.

Teorema de Rolle

Si f és contínua en [a,b], derivable en (a,b) i f(a)=f(b), llavors existeix almenys un c∈(a,b) tal que f'(c)=0.

Criteri de la segona derivada

Si f'(c)=0 i f''(c)>0, hi ha un mínim relatiu en c. Si f''(c)<0, hi ha un màxim relatiu. Si f''(c)=0, cal estudiar el signe de f' al voltant de c.

Asímptota obliqua

La recta y = mx + n és asímptota obliqua de f si m = lim_{x→∞} f(x)/x i n = lim_{x→∞} (f(x) − mx), amb m finit i no nul.

Teorema fonamental del càlcul

Si f és contínua en [a,b] i F(x) = ∫_a^x f(t)dt, llavors F'(x) = f(x). A més, ∫_a^b f(x)dx = F(b) − F(a) per a qualsevol primitiva F.

Integració per parts

∫u dv = uv − ∫v du. És útil per a productes de funcions com polinomis per exponencials o trigonomètriques, o logaritmes.

Àrea entre corbes

Si f(x) ≥ g(x) en [a,b], l'àrea entre les corbes és ∫_a^b (f(x) − g(x)) dx. Si canvien l'ordre, cal dividir l'interval.

Regla de Barrow

∫_a^b f(x)dx = F(b) − F(a), on F és una primitiva de f, és a dir, F'(x) = f(x) en [a,b].

Volum de revolució

El volum generat en girar y = f(x) al voltant de l'eix X entre x=a i x=b és V = π∫_a^b [f(x)]² dx.

Probabilitat condicionada

P(A|B) = P(A∩B)/P(B), sempre que P(B) > 0. És la probabilitat que esdevingui A sabent que ha passat B.

Esdeveniments independents

A i B són independents si P(A∩B) = P(A)P(B). Equivalentment, P(A|B) = P(A) si P(B)>0, o P(B|A) = P(B) si P(A)>0.

Teorema de la probabilitat total

Si B₁,...,Bₙ formen una partició de l'espai mostral, P(A) = Σ P(A|Bᵢ)P(Bᵢ).

Teorema de Bayes

P(Bᵢ|A) = P(A|Bᵢ)P(Bᵢ) / Σⱼ P(A|Bⱼ)P(Bⱼ), on B₁,...,Bₙ és una partició de l'espai mostral.

Probabilitat de la unió

P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). Si A i B són incompatibles, P(A∩B)=0 i per tant P(A∪B)=P(A)+P(B).

Distribució binomial

Per a n assaigs independents amb probabilitat d'èxit p, P(X=k) = C(n,k) pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ. La mitjana és np i la variància np(1−p).

Distribució normal

X ~ N(μ,σ) té densitat f(x) = (1/(σ√(2π))) e^{−(x−μ)²/(2σ²)}. És simètrica respecte de μ i la mitjana, mediana i moda coincideixen.

Tipificació

Si X ~ N(μ,σ), llavors Z = (X−μ)/σ ~ N(0,1). Així P(X ≤ a) = Φ((a−μ)/σ), on Φ és la funció de distribució normal estàndard.

Propietat de simetria normal

Per a Z ~ N(0,1), Φ(−z) = 1 − Φ(z). A més, P(Z ≤ 0) = 0,5 i P(−z ≤ Z ≤ z) = 2Φ(z) − 1.

Aproximació binomial per normal

Si n és gran i p no és proper a 0 ni a 1 (np ≥ 5 i n(1−p) ≥ 5), B(n,p) s'aproxima per N(np, √(np(1−p))).

Correcció per continuïtat

En aproximar una binomial discreta per una normal contínua, s'ajusta el valor k sumant o restant 0,5 segons el sentit de la desigualtat per millorar l'aproximació.

Interval de confiança aproximat

Per a una proporció mostral p̂ amb mostra gran, l'interval de confiança al nivell 1−α és p̂ ± z_{α/2}√(p̂(1−p̂)/n), on z_{α/2} és el valor crític normal.

Tipificació de la mitjana mostral

Si X ~ N(μ,σ) i la mida mostral és n, llavors la mitjana mostral X̄ ~ N(μ, σ/√n). El error típic de la mitjana és σ/√n.