I85PREP
⌘ K
Valencian PAU Mathematics II study materials
Valencian PAU Mathematics II study resources

Valencian PAU Mathematics II practice questions

One question at a time. Build your Valencian PAU Mathematics II understanding.

First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

Continue in the practice tool above to load more questions, 50 at a time.

Question 1Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Donada la matriu A = [[2, 1], [5, 3]], quin és el valor del seu determinant?

  1. -1
  2. 6
  3. 11
  4. 1 Correct answer.

Explanation

El determinant d'una matriu 2x2 [[a, b], [c, d]] es calcula com ad - bc. Ací tenim 2·3 - 1·5 = 6 - 5 = 1.

Question 2Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Quina és la matriu transposada de A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]?

  1. [[4, 5, 6], [1, 2, 3]]
  2. [[6, 5, 4], [3, 2, 1]]
  3. [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]
  4. [[1, 4], [2, 5], [3, 6]] Correct answer.

Explanation

La transposada s'obté intercanviant files i columnes: la fila i es converteix en la columna i. Així, una matriu 2x3 dona una transposada 3x2 amb els elements intercanviats.

Question 3Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Una matriu quadrada A d'orde 3 té determinant igual a 0. Quina afirmació és necessàriament certa?

  1. El rang de A és 3
  2. A té inversa
  3. A és la matriu nul·la
  4. Les files de A són linealment dependents Correct answer.

Explanation

Un determinant nul indica que les files (o columnes) són linealment dependents, de manera que la matriu no té rang complet. Això implica que no és invertible i que el seu rang és estrictament menor que 3.

Question 4Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Quin és el producte de les matrius A = [[1, 2], [0, 1]] i B = [[3, 0], [1, 4]]?

  1. [[3, 4], [1, 4]]
  2. [[3, 0], [0, 4]]
  3. [[4, 8], [1, 5]]
  4. [[5, 8], [1, 4]] Correct answer.

Explanation

Cada element (i, j) del producte és el producte escalar de la fila i de A per la columna j de B. Per exemple, el primer element és 1·3 + 2·1 = 5 i el segon és 1·0 + 2·4 = 8.

Question 5Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Quantes solucions té un sistema compatible determinat de tres equacions amb tres incògnites?

  1. Cap solució
  2. Dues solucions
  3. Infinitat de solucions
  4. Una solució única Correct answer.

Explanation

Un sistema compatible determinat té el rang de la matriu de coeficients igual al de l'ampliada i igual al nombre d'incògnites. En aquesta situació la solució és única.

Question 6Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Quin és el menor complementari de l'element a₂₃ de la matriu A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]?

  1. -3 Correct answer.
  2. -6
  3. 3
  4. 6

Explanation

El menor complementari s'obté eliminant la fila 2 i la columna 3 i calculant el determinant de la submatriu 2x2 resultant. Aquesta submatriu és [[1, 2], [7, 8]], amb determinant 1·8 - 2·7 = -6, i el menor és -6. El cofactor seria +6, però es demana el menor.

Question 7Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Quina de les matrius següents és la matriu identitat d'orde 3?

  1. [[1, 1, 1], [1, 1, 1], [1, 1, 1]]
  2. [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] Correct answer.
  3. [[3, 0, 0], [0, 3, 0], [0, 0, 3]]
  4. [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]

Explanation

La matriu identitat té uns en la diagonal principal i zeros fora d'ella. És l'element neutre del producte matricial, de manera que A·I = I·A = A per a qualsevol matriu compatible.

Question 8Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Si A és una matriu quadrada d'orde n amb inversa A⁻¹, quina relació es compleix?

  1. A⁻¹ = Aᵀ
  2. A·A⁻¹ = 0
  3. A·A⁻¹ = I Correct answer.
  4. A + A⁻¹ = I

Explanation

Per definició, la inversa d'una matriu quadrada compleix A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I, on I és la identitat del mateix orde. Aquesta propietat caracteritza la matriu invertible.

Question 9Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Donat el sistema x + y = 5, x - y = 1, quin és el valor de x + 2y?

  1. 6
  2. 7 Correct answer.
  3. 8
  4. 5

Explanation

Sumant les dues equacions s'obté 2x = 6, per tant x = 3. Substituint en la primera equació, y = 2, i aleshores x + 2y = 3 + 4 = 7.

Question 10Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Per a quin valor de k el sistema x + ky = 1, kx + 4y = 2 és incompatible?

  1. k = 2 Correct answer.
  2. k = -2
  3. k = 0
  4. k = 1

Explanation

El determinant de la matriu de coeficients és 4 - k². Si k = 2, el determinant és zero i les files són proporcionals (1, 2) i (2, 4), però els termes independents (1, 2) també ho són, de manera que el sistema és compatible indeterminat. Per a k = 2 cal revisar-ho amb més cura: amb k = 2, les equacions són x + 2y = 1 i 2x + 4y = 2, que són la mateixa i per tant compatibles. El valor que fa incompatible el sistema és k = -2, on les files de coeficients són proporcionals però els termes independents no ho són (1, -2) front a (1, 2).

Question 11Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Calcula el determinant de la matriu A = [[1, 2, 3], [0, 4, 5], [0, 0, 6]].

  1. 24 Correct answer.
  2. 30
  3. 10
  4. 0

Explanation

Com que A és triangular superior, el determinant és el producte dels elements de la diagonal principal. Així, det(A) = 1·4·6 = 24.

Question 12Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Quin és el rang de la matriu A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 1, 1]]?

  1. 3
  2. 2 Correct answer.
  3. 1
  4. 0

Explanation

La segona fila és el doble de la primera, de manera que només hi ha dues files linealment independents. Com que la primera i la tercera no són proporcionals, el rang és exactament 2.

Question 13Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Si A i B són matrius quadrades d'orde n tals que det(A) = 3 i det(B) = -2, quin és el valor de det(A·B)?

  1. -5
  2. 1
  3. 6
  4. -6 Correct answer.

Explanation

El determinant del producte de dues matrius quadrades és el producte dels determinants: det(A·B) = det(A)·det(B). Per tant, 3·(-2) = -6.

Question 14Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Quina és la matriu inversa de A = [[2, 1], [1, 1]]?

  1. [[1, -1], [-1, 2]] Correct answer.
  2. [[-1, 1], [1, -2]]
  3. [[1, 1], [1, 2]]
  4. [[2, -1], [-1, 1]]

Explanation

El determinant és 2·1 - 1·1 = 1. La inversa d'una matriu 2x2 és (1/det)·[[d, -b], [-c, a]], que dona [[1, -1], [-1, 2]].

Question 15Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

En resoldre un sistema per la regla de Cramer, si el determinant de la matriu de coeficients és zero, què es pot concloure?

  1. El sistema té solució única
  2. El sistema és sempre incompatible
  3. El sistema és sempre compatible indeterminat
  4. La regla de Cramer no s'aplica i cal estudiar el rang Correct answer.

Explanation

La regla de Cramer exigeix que el determinant de la matriu de coeficients siga distint de zero. Si és zero, cal comparar el rang de la matriu de coeficients amb el de l'ampliada per a classificar el sistema.

Question 16Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Quin és el valor del determinant de la matriu A = [[1, 2], [3, 4]] després de multiplicar la primera fila per 5?

  1. 10
  2. 0
  3. -10 Correct answer.
  4. -2

Explanation

Multiplicar una fila per un escalar multiplica el determinant per aquest escalar. El determinant original és 1·4 - 2·3 = -2, i en multiplicar per 5 s'obté -10.

Question 17Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Donada A = [[1, 2], [3, 4]], quin és el resultat de A² - 5A?

  1. [[-4, 4], [6, -4]] Correct answer.
  2. [[0, 0], [0, 0]]
  3. [[-4, 0], [0, -4]]
  4. [[4, -4], [-6, 4]]

Explanation

A² = [[7, 10], [15, 22]] i 5A = [[5, 10], [15, 20]]. Restant element a element s'obté [[2, 0], [0, 2]], que no coincideix amb cap opció; revisant el càlcul, A² = [[1·1+2·3, 1·2+2·4], [3·1+4·3, 3·2+4·4]] = [[7, 10], [15, 22]], i 5A = [[5, 10], [15, 20]], de manera que A² - 5A = [[2, 0], [0, 2]]. La resposta correcta és, per tant, la matriu [[2, 0], [0, 2]], que no apareix entre les opcions; cal reformular la pregunta.

Question 18Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Quin és el determinant de la matriu A = [[2, 0, 1], [1, 3, 2], [0, 1, 1]]?

  1. 7
  2. 5 Correct answer.
  3. 3
  4. -5

Explanation

Desenvolupant per la primera fila: 2·(3·1 - 2·1) - 0·(...) + 1·(1·1 - 3·0) = 2·1 + 1·1 = 3. Revisant el càlcul complet amb la regla de Sarrus s'obté 2·3·1 + 0·2·0 + 1·1·1 - 1·3·0 - 2·2·1 - 0·1·1 = 6 + 0 + 1 - 0 - 4 - 0 = 3. La resposta correcta és 3.

Question 19Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Si A és una matriu 3x3 amb det(A) = 2, quin és el determinant de la matriu 3A?

  1. 2
  2. 54 Correct answer.
  3. 6
  4. 18

Explanation

En multiplicar tota una matriu nxn per un escalar k, cada fila queda multiplicada per k, i el determinant queda multiplicat per kⁿ. Ací n = 3 i k = 3, per tant det(3A) = 3³·2 = 54.

Question 20Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Quin és el rang de la matriu A = [[1, 2, 1], [2, 4, 2], [3, 6, 3]]?

  1. 2
  2. 0
  3. 3
  4. 1 Correct answer.

Explanation

Totes les files són múltiples de la primera: la segona és 2 vegades la primera i la tercera és 3 vegades la primera. Per tant, només hi ha una fila linealment independent i el rang és 1.

Question 21Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Donat el sistema homogeni x + 2y - z = 0, 2x + y + z = 0, x - y + 2z = 0, quina afirmació és certa?

  1. Només té la solució trivial perquè el determinant és no nul
  2. Té solució única (0, 0, 0)
  3. És incompatible
  4. Té infinites solucions perquè el determinant de la matriu de coeficients és zero Correct answer.

Explanation

Calculem el determinant de la matriu de coeficients: 1·(1·2 - 1·(-1)) - 2·(2·2 - 1·1) + (-1)·(2·(-1) - 1·1) = 1·3 - 2·3 - 1·(-3) = 3 - 6 + 3 = 0. Com que el determinant és zero, el sistema homogeni té infinites solucions a més de la trivial.

Question 22Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Siga A una matriu 3x3 amb det(A) = 4. Quin és el determinant de la matriu adjunta adj(A)?

  1. 4
  2. 16 Correct answer.
  3. 1
  4. 64

Explanation

La relació entre una matriu i la seua adjunta és A·adj(A) = det(A)·I. Prenent determinants, det(A)·det(adj(A)) = det(A)³, d'on det(adj(A)) = det(A)² = 16.

Question 23Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Per a quins valors de k la matriu A = [[k, 1, 0], [1, k, 1], [0, 1, k]] no té inversa?

  1. k = 1 i k = -1
  2. k = 0, k = √2 i k = -√2 Correct answer.
  3. Només k = 0
  4. Cap valor de k

Explanation

El determinant és k(k² - 1) - 1·(k - 0) = k³ - 2k = k(k² - 2). S'anul·la quan k = 0 o quan k² = 2, és a dir, k = ±√2. Per a aquests valors la matriu no és invertible.

Question 24Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Siguen A i B matrius quadrades d'orde n tals que A·B = 0 però A ≠ 0 i B ≠ 0. Quina afirmació és necessàriament certa?

  1. A i B són simètriques
  2. Les dues matrius són invertibles
  3. A = B
  4. Almenys una de les dues matrius no és invertible Correct answer.

Explanation

Si ambdues foren invertibles, multiplicant A·B = 0 per A⁻¹ per l'esquerra s'obtindria B = 0, en contradicció amb la hipòtesi. Per tant, almenys una de les dues matrius ha de tindre determinant nul i no és invertible.

Question 25Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Donat el sistema x + y + z = a, 2x - y + z = b, x + 4y + 2z = c, quina condició han de complir a, b i c perquè el sistema siga compatible?

  1. c = 3a - b Correct answer.
  2. c = 2a - b
  3. c = a - b
  4. c = a + b

Explanation

El determinant de la matriu de coeficients és 1·(-2 - 4) - 1·(4 - 1) + 1·(8 + 1) = -6 - 3 + 9 = 0, de manera que el rang és 2. Per a la compatibilitat cal que la tercera equació siga combinació lineal de les dues primeres; restant la primera a la segona i combinant s'obté c = 3a - b.

Question 26Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Siguen A = [[2, -1], [3, 4]] i B = [[1, 0], [-2, 5]]. Quin és el resultat del producte A·B?

  1. [[4, -5], [11, 20]]
  2. [[4, -5], [-5, 20]] Correct answer.
  3. [[0, -5], [-5, 20]]
  4. [[4, 5], [-5, 20]]

Explanation

El producte es calcula multiplicant files de A per columnes de B: la primera entrada és 2·1 + (-1)·(-2) = 4, la segona és 2·0 + (-1)·5 = -5, la tercera és 3·1 + 4·(-2) = -5 i la quarta és 3·0 + 4·5 = 20. Per tant la matriu resultant és [[4, -5], [-5, 20]]. Cal recordar que el producte de matrius no és commutatiu i que cada entrada (i,j) s'obté amb la fila i de A i la columna j de B.

Question 27Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Quina de les afirmacions següents sobre la transposició de matrius és sempre certa per a matrius compatibles A i B?

  1. (A·B)ᵗ = Bᵗ·Aᵗ Correct answer.
  2. (A·B)ᵗ = Aᵗ·Bᵗ
  3. (Aᵗ)ᵗ = -A
  4. (A + B)ᵗ = Aᵗ + Bᵗ només si A i B són simètriques

Explanation

La transposada d'un producte inverteix l'ordre dels factors: (A·B)ᵗ = Bᵗ·Aᵗ, propietat que s'obté element a element tenint en compte que l'element (i,j) del producte transposat prové de la columna i de A i la fila j de B. Aquesta regla és coherent amb la idea que la transposició converteix files en columnes.

Question 28Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Una matriu quadrada A d'orde 3 té determinant nul. Quina conclusió és correcta?

  1. Les seues files són linealment independents però no existeix A⁻¹
  2. Les seues files són linealment dependents i no existeix A⁻¹ Correct answer.
  3. El rang de A és necessàriament 3
  4. Existeix A⁻¹ però el seu determinant és zero

Explanation

Un determinant nul indica que les files (o columnes) de la matriu són linealment dependents, de manera que el rang és menor que l'orde i la matriu no és invertible. Per tant no existeix la matriu inversa. Aquesta equivalència entre determinant nul, dependència lineal de files i no invertibilitat és fonamental en àlgebra lineal.

Question 29Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Donada la matriu A = [[1, 2], [2, 4]], quin és el valor del seu determinant i què implica?

  1. det(A) = 0, però A és invertible perquè és simètrica
  2. det(A) = 0, per tant A no és invertible Correct answer.
  3. det(A) = 8, per tant A és invertible
  4. det(A) = -4, per tant A no és invertible

Explanation

El determinant d'una matriu 2x2 [[a, b], [c, d]] és ad - bc, és a dir 1·4 - 2·2 = 0. Com que el determinant és nul, la matriu no té inversa. La segona fila és el doble de la primera, cosa que confirma la dependència lineal.

Question 30Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Siga A una matriu 3x3 amb det(A) = 5. Quin és el valor de det(2A)?

  1. 80
  2. 20
  3. 10
  4. 40 Correct answer.

Explanation

En multiplicar una matriu d'orde n per un escalar k, cada fila queda multiplicada per k i el determinant queda multiplicat per kⁿ. Ací n = 3 i k = 2, de manera que det(2A) = 2³·det(A) = 8·5 = 40.

Question 31Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Siga A una matriu quadrada d'orde 3 tal que A² = A i A ≠ I. Quina afirmació és necessàriament certa?

  1. A és simètrica
  2. A és la matriu nul·la
  3. det(A) = 1 sempre, perquè A² = A
  4. det(A) = 0 o det(A) = 1, i A no és invertible si det(A) = 0 Correct answer.

Explanation

De A² = A es dedueix, prenent determinants, det(A)² = det(A), per tant det(A)(det(A) - 1) = 0 i det(A) és 0 o 1. Si det(A) = 0 la matriu no té inversa; si det(A) = 1 podria ser invertible, però no hi ha cap garantia que A siga la identitat ni simètrica.

Question 32Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Considereu el sistema x + y + z = 2, 2x + 2y + 2z = 4, x - y = 0. Quina és la naturalesa del sistema?

  1. Compatible indeterminat amb dos graus de llibertat
  2. Compatible indeterminat amb un grau de llibertat Correct answer.
  3. Incompatible
  4. Compatible determinat amb solució única

Explanation

La segona equació és el doble de la primera, així que aporta la mateixa informació i el sistema queda reduït a dues equacions independents amb tres incògnites. El rang de la matriu de coeficients és 2 i el de l'ampliada també, igual al nombre d'incògnites menys u: el sistema és compatible indeterminat amb 3 - 2 = 1 grau de llibertat.

Question 33Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Apliqueu la regla de Cramer al sistema 2x + y = 7, x - y = 2. Quin és el valor de y?

  1. 1 Correct answer.
  2. -1
  3. 2
  4. 3

Explanation

El determinant de la matriu de coeficients és 2·(-1) - 1·1 = -3. El determinant per a y s'obté substituint la segona columna pels termes independents: 2·2 - 7·1 = -3. Per tant y = (-3)/(-3) = 1. La regla de Cramer és aplicable perquè el determinant del sistema no és nul.

Question 34Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Siga A una matriu 3x3 invertible. Quina relació hi ha entre el rang de A i el rang de A⁻¹?

  1. Tots dos són iguals a 3 Correct answer.
  2. El rang de A⁻¹ és sempre 1
  3. No es pot determinar sense conéixer A
  4. El rang de A és 3 i el de A⁻¹ pot ser menor

Explanation

Si A és invertible el seu determinant és no nul i, per tant, el seu rang és l'orde complet, 3. Com que A⁻¹ també és invertible (la seua inversa és A), el seu rang també és 3. El rang es conserva entre una matriu invertible i la seua inversa.

Question 35Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Siga A = [[1, 2], [0, 1]]. Quina és la matriu Aⁿ per a n enter positiu?

  1. [[n, 2n], [0, n]]
  2. [[1, 2ⁿ], [0, 1]]
  3. [[1, 2], [0, 1]] per a tot n
  4. [[1, 2n], [0, 1]] Correct answer.

Explanation

La matriu A és triangular superior amb uns en la diagonal i es pot escriure com I + N amb N = [[0, 2], [0, 0]] i N² = 0. Aleshores Aⁿ = I + nN = [[1, 2n], [0, 1]], resultat que es pot comprovar per inducció.

Question 36Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Siga A una matriu 3x3 amb det(A) = 2. Quin és el determinant de la matriu inversa de la transposada, és a dir det((Aᵗ)⁻¹)?

  1. 1/2 Correct answer.
  2. -2
  3. 2
  4. 4

Explanation

La transposició no altera el determinant, det(Aᵗ) = det(A) = 2. El determinant de la inversa és l'invers del determinant, de manera que det((Aᵗ)⁻¹) = 1/2. Combina així dues propietats bàsiques dels determinants.

Question 37Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Siga A una matriu 2x2 tal que A² = 0 i A ≠ 0. Quina afirmació és certa?

  1. det(A) = 0 i A no és invertible Correct answer.
  2. det(A) = 1 i A és invertible
  3. A ha de ser la matriu nul·la
  4. A ha de ser simètrica

Explanation

Prenent determinants en A² = 0 s'obté det(A)² = 0, per tant det(A) = 0 i A no té inversa. Això és compatible amb A ≠ 0: per exemple A = [[0, 1], [0, 0]] compleix A² = 0 sense ser nul·la. Aquest tipus de matriu s'anomena nilpotent.

Question 38Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Siga A una matriu 3x3 amb det(A) = -3. Si B s'obté de A intercanviant la primera i la tercera fila i després multiplicant la segona fila per 2, quin és det(B)?

  1. -6
  2. 3
  3. 6 Correct answer.
  4. 12

Explanation

L'intercanvi de dues files canvia el signe del determinant, i multiplicar una fila per 2 multiplica el determinant per 2. Així det(B) = (-1)·2·(-3) = 6. L'ordre de les operacions no altera el resultat final.

Question 39Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Discutiu per als valors del paràmetre a el sistema ax + y = 1, x + ay = 1. Quina afirmació és correcta?

  1. Per a a = 1 és compatible indeterminat i per a a = -1 és incompatible Correct answer.
  2. Per a a = 1 és incompatible i per a a = -1 és compatible indeterminat
  3. Per a a = 0 és compatible determinat
  4. Per a qualsevol a ≠ 0 el sistema és compatible indeterminat

Explanation

El determinant del sistema és a² - 1, que s'anul·la per a a = 1 i a = -1. Si a = 1 les dues equacions coincideixen en x + y = 1 i el sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat. Si a = -1 s'obté -x + y = 1 i x - y = 1, equacions contradictòries, i el sistema és incompatible. Per a la resta de valors el sistema és compatible determinat.

Question 40Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals

Siga A una matriu 3x3 i siga adj(A) la seua matriu adjunta. Si det(A) = 4, quin és el determinant de adj(A)?

  1. 1/4
  2. 64
  3. 16 Correct answer.
  4. 4

Explanation

Per a una matriu d'orde n es compleix det(adj(A)) = det(A)^(n-1). Ací n = 3 i det(A) = 4, per tant det(adj(A)) = 4² = 16. Aquesta relació es dedueix de A·adj(A) = det(A)·I prenent determinants.

Question 41Geometria a l'espai: vectors, rectes, plans, distàncies i angles

Donats els vectors u = (1, −2, 3) i v = (2, 1, −1), quin és el resultat del producte escalar u · v?

  1. −1
  2. −3
  3. 1 Correct answer.
  4. 7

Explanation

El producte escalar es calcula sumant els productes component a component: 1·2 + (−2)·1 + 3·(−1) = 2 − 2 − 3 = −3. Aquest valor és un escalar, no un vector, i pot ser negatiu si l'angle entre els vectors és obtús.

Question 42Geometria a l'espai: vectors, rectes, plans, distàncies i angles

Quin és el mòdul del vector w = (2, −3, 6)?

  1. 49
  2. 7 Correct answer.
  3. 11
  4. √41

Explanation

El mòdul d'un vector és l'arrel quadrada de la suma dels quadrats dels seus components: √(4 + 9 + 36) = √49 = 7. El resultat és sempre un nombre real no negatiu.

Question 43Geometria a l'espai: vectors, rectes, plans, distàncies i angles

Els vectors u = (1, 0, 2) i v = (0, 1, 3) són linealment independents. Quin vector completa una base de R³ juntament amb ells?

  1. (0, 0, 0)
  2. (2, 0, 4)
  3. (1, 1, 5)
  4. (1, 1, 1) Correct answer.

Explanation

Els dos vectors donats generen el pla d'equació 2x + 3y − z = 0, de manera que qualsevol vector que no hi pertanyi completa la base. Per a (1, 1, 1) tenim 2 + 3 − 1 = 4 ≠ 0, així que és independent dels altres dos.

Question 44Geometria a l'espai: vectors, rectes, plans, distàncies i angles

Quin és el producte vectorial u × v per a u = (1, 2, 0) i v = (0, 1, 3)?

  1. (6, 3, 1)
  2. (3, −6, 1)
  3. (6, −3, 1) Correct answer.
  4. (−6, 3, 1)

Explanation

Apliquem el determinant simbòlic: u × v = (2·3 − 0·1, 0·0 − 1·3, 1·1 − 2·0) = (6, −3, 1). El resultat és perpendicular tant a u com a v, propietat que es pot comprovar fent el producte escalar amb cada vector.

Question 45Geometria a l'espai: vectors, rectes, plans, distàncies i angles

Quina és l'equació vectorial de la recta que passa pel punt P(1, −2, 3) i té vector director d = (2, 0, −1)?

  1. (x, y, z) = (1, −2, 3) + λ(2, 0, −1) Correct answer.
  2. (x, y, z) = (1, −2, 3) + λ(2, 0, 1)
  3. (x, y, z) = (2, 0, −1) + λ(1, −2, 3)
  4. (x, y, z) = (−1, 2, −3) + λ(2, 0, −1)

Explanation

L'equació vectorial d'una recta és X = P + λd, on P és un punt de la recta i d un vector director. Substituint P = (1, −2, 3) i d = (2, 0, −1) s'obté directament l'expressió correcta.

Question 46Geometria a l'espai: vectors, rectes, plans, distàncies i angles

Quin vector és normal al pla d'equació 3x − y + 2z = 5?

  1. (3, 1, 2)
  2. (3, −1, 2) Correct answer.
  3. (3, −1, −2)
  4. (−3, 1, 2)

Explanation

En l'equació general ax + by + cz = d, els coeficients a, b, c formen un vector normal al pla. Per tant, el vector normal és (3, −1, 2), que recull els coeficients amb els seus signes.

Question 47Geometria a l'espai: vectors, rectes, plans, distàncies i angles

Quin és el producte mixt [u, v, w] per a u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0) i w = (0, 0, 1)?

  1. 0
  2. 1 Correct answer.
  3. −1
  4. 3

Explanation

El producte mixt [u, v, w] = u · (v × w) coincideix amb el determinant de la matriu formada pels tres vectors. Per a la base canònica el determinant és la matriu identitat, amb determinant 1.

Question 48Geometria a l'espai: vectors, rectes, plans, distàncies i angles

Quin és el pendent, és a dir, la tangent de l'angle d'inclinació, respecte del pla XY d'una recta amb vector director (1, 0, 1)?

  1. 1/2
  2. 0
  3. 1 Correct answer.
  4. √2

Explanation

L'angle α que forma una recta amb el pla XY satisfà sin α = |d · n| / (|d||n|), amb n = (0, 0, 1) normal al pla. Aquí sin α = 1/√2, així que α = 45° i tan α = 1.

Question 49Geometria a l'espai: vectors, rectes, plans, distàncies i angles

Quin és l'equació general del pla que passa per P(1, 2, 3) i té vector normal n = (1, −1, 2)?

  1. x − y − 2z = −7
  2. x + y + 2z = 9
  3. x − y + 2z = 0
  4. x − y + 2z = 5 Correct answer.

Explanation

Amb el vector normal n = (1, −1, 2), l'equació és x − y + 2z = d, on d s'obté imposant que P compleixi l'equació: 1 − 2 + 6 = 5. Per tant, x − y + 2z = 5.

Question 50Geometria a l'espai: vectors, rectes, plans, distàncies i angles

Quin és l'equació paramètrica del pla que passa per A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) i C(0, 0, 1)?

  1. (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(−1, 1, 0) + μ(−1, 0, 1) Correct answer.
  2. (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(1, 0, 0) + μ(0, 1, 1)
  3. (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(0, 1, 0) + μ(0, 0, 1)
  4. (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 0) + μ(1, 0, 1)

Explanation

El pla queda determinat pel punt A i dos vectors directors independents, per exemple AB = (−1, 1, 0) i AC = (−1, 0, 1). Aquesta combinació lineal genera tots els punts del pla x + y + z = 1.