Valencian PAU Mathematics II cheat sheet

Una matriu A és invertible si i només si det(A) ≠ 0; llavors A⁻¹ = adj(A)ᵀ / det(A), on adj(A) és la matriu de cofactors.

Propietats dels determinants: det(AB) = det(A)det(B); det(Aᵀ) = det(A); det(kA) = kⁿ det(A) per a A de mida n×n; det(A⁻¹) = 1/det(A).

Regla de Cramer: per a un sistema compatible determinat Ax = b, xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), on Aᵢ és A amb la columna i substituïda per b.

Teorema de Rouché-Frobenius: el sistema Ax = b és compatible ⇔ rang(A) = rang(A|b). És determinat si aquest rang és igual al nombre d'incògnites; indeterminat si és menor.

Un sistema homogeni Ax = 0 sempre és compatible; té solució no trivial (infinitat) si i només si rang(A) < n, és a dir, det(A) = 0 si A és quadrada.

El rang d'una matriu és el nombre de files (o columnes) linealment independents; es calcula escalonant o trobant el major menor no nul.

Per a una matriu 2×2 A = [[a,b],[c,d]], A⁻¹ = (1/(ad−bc)) [[d,−b],[−c,a]] si ad−bc ≠ 0.

Si A i B són matrius invertibles, (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ i (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ.

Producte escalar: u·v = |u||v|cos θ; u⊥v ⇔ u·v = 0. Producte vectorial: |u×v| = |u||v|sin θ; u×v és perpendicular a u i v.

Equació del pla: ax + by + cz = d, amb vector normal n = (a,b,c). Equació vectorial: (x,y,z) = P₀ + t u + s v.

Recta en forma paramètrica: (x,y,z) = P₀ + t d, on d és el vector director; en forma contínua: (x−x₀)/d₁ = (y−y₀)/d₂ = (z−z₀)/d₃ si dᵢ ≠ 0.

Distància d'un punt P a un pla π: ax+by+cz+d=0 és |ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²).

Distància d'un punt P a una recta r: |(P−P₀)×d| / |d|, on P₀ és un punt de la recta i d el vector director.

Angle entre dues rectes: cos θ = |d₁·d₂| / (|d₁||d₂|). Angle entre dos plans: cos θ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|). Angle entre recta i pla: sin θ = |d·n| / (|d||n|).

Posicions relatives de plans: dos plans són paral·lels si n₁ ∥ n₂; coincideixen si a més d₁ = k d₂; es tallen en una recta si n₁ no és paral·lel a n₂.

Volum del paral·lelepípede definit per u, v, w: |u·(v×w)|; àrea del triangle definit per u i v: ½|u×v|.

Continuïtat en x = a: existeix f(a), existeix lim_{x→a} f(x) i coincideixen. Els límits laterals han de ser iguals.

Derivada en x = a: f'(a) = lim_{h→0} [f(a+h)−f(a)]/h. Si f és derivable en a, llavors és contínua en a (el recíproc no sempre és cert).

Regles de derivació: (fg)' = f'g + fg'; (f/g)' = (f'g − fg')/g²; (f∘g)' = f'(g(x))·g'(x).

Teorema de Rolle: si f és contínua en [a,b], derivable en (a,b) i f(a)=f(b), existeix c∈(a,b) amb f'(c)=0.

Teorema del valor mitjà: si f és contínua en [a,b] i derivable en (a,b), existeix c∈(a,b) amb f'(c) = (f(b)−f(a))/(b−a).

Optimització: els extrems relatius es troben on f'(x)=0 o on f' no existeix. Si f''(x)>0 hi ha mínim; si f''(x)<0 hi ha màxim; si f''(x)=0 cal estudiar el signe de f' al voltant.

Asímptotes: vertical si lim_{x→a} f(x) = ±∞; horitzontal si lim_{x→∞} f(x) = L; obliqua y = mx + n amb m = lim_{x→∞} f(x)/x i n = lim_{x→∞} (f(x) − mx).

Concavitat i punts d'inflexió: f''(x)>0 ⇒ còncava cap amunt; f''(x)<0 ⇒ còncava cap avall; punt d'inflexió on f'' canvia de signe.

Teorema fonamental del càlcul: si f és contínua en [a,b] i F(x) = ∫_a^x f(t)dt, llavors F'(x) = f(x). A més, ∫_a^b f(x)dx = F(b) − F(a) on F' = f.

Integrals immediates: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n≠−1); ∫1/x dx = ln|x| + C; ∫eˣdx = eˣ + C; ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C.

Integració per parts: ∫u dv = uv − ∫v du. Integració per substitució: ∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du amb u = g(x).

Àrea entre la corba y = f(x) i l'eix X en [a,b]: ∫_a^b |f(x)| dx. Cal dividir l'interval on f canvia de signe.

Àrea entre dues corbes f(x) ≥ g(x) en [a,b]: ∫_a^b (f(x) − g(x)) dx.

Regla de Barrow: ∫_a^b f(x)dx = F(b) − F(a), on F és una primitiva de f (F' = f).

Si f és imparella, ∫{−a}^a f(x)dx = 0; si f és parella, ∫{−a}^a f(x)dx = 2∫_0^a f(x)dx.

Volum de revolució al voltant de l'eix X: V = π∫_a^b [f(x)]² dx.

Probabilitat condicionada: P(A|B) = P(A∩B)/P(B), sempre que P(B) > 0.

Esdeveniments independents: P(A∩B) = P(A)P(B). Equivalentment, P(A|B) = P(A) si P(B)>0.

Teorema de la probabilitat total: si B₁,...,Bₙ formen una partició de l'espai mostral, P(A) = Σ P(A|Bᵢ)P(Bᵢ).

Teorema de Bayes: P(Bᵢ|A) = P(A|Bᵢ)P(Bᵢ) / Σⱼ P(A|Bⱼ)P(Bⱼ).

Probabilitat de la unió: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). Si A i B són incompatibles, P(A∪B) = P(A)+P(B).

Probabilitat del complementari: P(Aᶜ) = 1 − P(A).

Si A i B són independents, també ho són A i Bᶜ, Aᶜ i B, i Aᶜ i Bᶜ.

Diagrama d'arbre: la probabilitat d'un camí és el producte de les probabilitats condicionades de les branques; la probabilitat total d'un succés és la suma de les probabilitats dels camins que hi porten.

Distribució binomial B(n,p): P(X = k) = C(n,k) pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏ, per a k = 0,1,...,n. Mitjana μ = np, variància σ² = np(1−p).

Distribució normal N(μ,σ): la funció de densitat és f(x) = (1/(σ√(2π))) e^{−(x−μ)²/(2σ²)}. La corba és simètrica respecte de x = μ.

Tipificació: si X ~ N(μ,σ), llavors Z = (X−μ)/σ ~ N(0,1). P(X ≤ a) = P(Z ≤ (a−μ)/σ) = Φ((a−μ)/σ).

Propietats de la normal estàndard: Φ(−z) = 1 − Φ(z); P(Z ≤ 0) = 0,5; P(−1 ≤ Z ≤ 1) ≈ 0,6827; P(−2 ≤ Z ≤ 2) ≈ 0,9545; P(−3 ≤ Z ≤ 3) ≈ 0,9973.

Aproximació de la binomial per la normal: si n és gran i p no és pròxim a 0 ni a 1 (np ≥ 5 i n(1−p) ≥ 5), B(n,p) ≈ N(np, √(np(1−p))).

Correcció per continuïtat en aproximar la binomial per la normal: P(X ≤ k) ≈ Φ((k+0,5−np)/√(np(1−p))); P(X ≥ k) ≈ 1 − Φ((k−0,5−np)/√(np(1−p))).

La distribució binomial és la suma de n assaigs de Bernoulli independents amb probabilitat d'èxit p.

Taules de la normal estàndard: proporcionen Φ(z) = P(Z ≤ z) per a z ≥ 0; per a z negatiu s'usa Φ(−z) = 1 − Φ(z).