Valencian PAU Mathematics II common mistakes
Valencian PAU Mathematics II · Understand the traps and how to avoid them.
En resoldre sistemes d'equacions lineals, l'alumne aplica el mètode de Gauss sense pivotar i, si apareix un zero en la posició de pivot, abandona o comet errors aritmètics en no intercanviar files.
S'aprèn el procediment de manera mecànica i no es comprèn que cal seleccionar un pivot no nul; sovint no es revisa la matriu escalonada i es continua dividint per zero o s'arrosseguen errors.
What to do instead
Abans de començar, escriure la matriu ampliada i, a cada pas, triar com a pivot el primer element no nul de la columna (intercanviant files si cal). Després de cada operació, comprovar que la fila modificada té zeros a sota del pivot. Fer una substitució enrere ordenada i verificar la solució en una equació original.
En calcular determinants, l'alumne desenvolupa per adjunts i comet errors de signe en els cofactors, o oblida que en intercanviar files el determinant canvia de signe.
La regla dels signes (+ - + - ...) s'aplica malament perquè no es memoritza la matriu de signes; també es confon el desenvolupament per files amb el de columnes i no es té en compte l'efecte de les operacions elementals sobre el determinant.
What to do instead
Escriure sempre la matriu de signes al costat i marcar el signe de cada cofactor abans de multiplicar. Practicar amb determinants 3x3 i 4x4 usant tant la regla de Sarrus (3x3) com el desenvolupament per una fila o columna amb més zeros. Recordar: intercanviar files multiplica per -1; sumar un múltiple d'una fila a una altra no altera el determinant; multiplicar una fila per k multiplica el determinant per k.
En geometria a l'espai, l'alumne calcula malament el producte vectorial o mixt, i per tant obté una normal incorrecta o un volum erroni, sovint per errors en els signes dels components.
El producte vectorial s'aprèn com una fórmula memorística sense comprensió del determinant simbòlic; els signes alterns (+ - +) es perden i no es comprova l'ortogonalitat del resultat amb els vectors originals.
What to do instead
Calcular el producte vectorial disposant els vectors en una taula 2x3 i aplicant la regla de Sarrus amb els signes correctes. Després, verificar que el vector obtingut és ortogonal a tots dos (producte escalar zero). Per al producte mixt, usar el determinant 3x3 i comprovar que el volum és el valor absolut. Si el resultat és zero, interpretar correctament la coplanarietat.
En calcular distàncies entre punts, rectes i plans, l'alumne aplica la fórmula de la distància punt-pla sense assegurar-se que l'equació del pla està en forma general, o oblida el valor absolut i el denominador.
Es memoritza la fórmula sense entendre que requereix l'equació general del pla (Ax+By+Cz+D=0) i que el numerador és el valor absolut de l'avaluació. També es confon la distància punt-recta amb la punt-pla.
What to do instead
Abans d'aplicar la fórmula, transformar sempre el pla a la forma general. Escriure la fórmula completa: d = |Ax0+By0+Cz0+D| / sqrt(A^2+B^2+C^2). Per a la distància punt-recta, usar el producte vectorial: d = |(P-Q) x v| / |v|. Comprovar que el resultat és positiu i té sentit geomètric (no pot ser més gran que la distància a un punt de la recta).
En calcular límits, l'alumne aplica la regla de L'Hôpital quan no es compleixen les condicions (per exemple, límit no indeterminat o funcions no derivables) o deriva malament el numerador i denominador.
Es veu L'Hôpital com una solució universal i no es comprova que el límit sigui 0/0 o ∞/∞. A més, sovint no es deriva correctament perquè no es repassa la regla de la cadena.
What to do instead
Abans d'usar L'Hôpital, substituir el valor i classificar la indeterminació. Si no és 0/0 o ∞/∞, usar altres tècniques (factorització, conjugat, límits notables). Quan s'apliqui, derivar numerador i denominador per separat, simplificar i tornar a avaluar. Comprovar el resultat amb una taula de valors o amb la gràfica.
En optimització, l'alumne planteja la funció objectiu però no identifica correctament la restricció, o deriva i iguala a zero sense comprovar que el punt crític és un màxim o mínim en l'interval admissible.
Es treballa amb problemes de la vida real on cal traduir l'enunciat a llenguatge algebraic; sovint s'oblida que la variable té un domini limitat i no es justifica la naturalesa del punt crític.
What to do instead
Llegir l'enunciat dues vegades i escriure explícitament: funció a optimitzar, variable(s), restricció i domini. Expressar la funció en una sola variable. Derivar, igualar a zero i resoldre. Usar la segona derivada o l'estudi de signes per classificar. Finalment, comprovar que la solució compleix la restricció i té sentit físic (longituds positives, etc.).
En calcular àrees mitjançant integrals, l'alumne no té en compte els talls de la funció amb l'eix X i calcula la integral definida directament, obtenint un resultat incorrecte (àrea negativa o cancel·lada).
Es confon la integral definida amb l'àrea; no es representa la funció ni es busquen els punts on canvia de signe. També s'oblida restar la funció inferior a la superior quan es calcula l'àrea entre dues corbes.
What to do instead
Dibuixar aproximadament les funcions i determinar els punts de tall amb l'eix X i entre elles. Dividir l'interval en subintervals on el signe sigui constant. Calcular la integral definida de cada tram i sumar els valors absoluts. Per a àrea entre corbes, integrar (f(x)-g(x)) on f sigui la superior, o bé usar el valor absolut si no és clar.
En probabilitat condicionada, l'alumne confon P(A|B) amb P(B|A) o amb P(A∩B), i aplica malament el teorema de Bayes o la fórmula de la probabilitat total.
La notació i el significat de la condicionalitat no s'interioritzen; sovint es memoritzen fórmules sense entendre la diferència entre la probabilitat de la intersecció i la condicionada.
What to do instead
Escriure sempre la definició P(A|B) = P(A∩B)/P(B) i identificar clarament quin esdeveniment és el condicionant. Dibuixar un diagrama d'arbre per a problemes de probabilitat total i Bayes. Practicar amb taules de contingència per veure la diferència entre P(A∩B) i P(A|B). Comprovar que les probabilitats estan entre 0 i 1.
En distribucions binomial i normal, l'alumne no comprova les condicions d'aplicació (assaigs independents, probabilitat constant, n gran) i fa servir la normal per aproximar la binomial sense correcció per continuïtat o amb np o nq massa petits.
Es veu la distribució normal com un substitut directe de la binomial i s'obliden les condicions np≥5 i nq≥5 (o similars). La correcció per continuïtat (sumar o restar 0,5) sovint s'ignora.
What to do instead
Abans d'aproximar, verificar que np≥5 i n(1-p)≥5. Si no, usar la binomial exacta. En aproximar, aplicar la correcció per continuïtat: P(X≤k) ≈ P(Z ≤ (k+0,5-μ)/σ), P(X≥k) ≈ P(Z ≥ (k-0,5-μ)/σ). Estandaritzar correctament i usar la taula de la normal estàndard amb cura dels signes.
En estadística, l'alumne calcula la mitjana i la desviació típica però no interpreta els resultats en el context del problema, o confon desviació típica amb variància i no tipifica correctament per a la normal.
Es prioritzar el càlcul mecànic sobre la interpretació; la variància i la desviació es confonen perquè ambdues es calculen a partir de les dades, i la tipificació Z=(X-μ)/σ s'aplica sense entendre el seu significat.
What to do instead
Sempre escriure les fórmules i etiquetar clarament: variància σ², desviació típica σ. En tipificar, comprovar que el valor Z té sentit (positiu si X>μ). Interpretar el resultat en l'context: per exemple, 'el valor està a 1,5 desviacions típiques per sobre de la mitjana'. Practicar amb problemes reals on calgui prendre decisions a partir de la probabilitat.