Dron d'inspecció: creuament amb la coberta, pla de seguretat i simetria
Un equip de drons inspecciona la coberta d'una nau industrial a Sagunt. En un sistema de coordenades en metres, la trajectòria programada del dron és la recta r: (x, y, z) = (1, 1, 0) + t(2, −1, 1), amb t real, i el pla de la coberta és π: x + y + z = 4. Un sensor de referència està fixat al punt Q(0, 1, 0). El pilot ha de programar tres comprovacions abans del vol: (i) el punt de creuament de la trajectòria amb la coberta i l'angle d'incidència, tenint en compte que com més perpendicular siga la trajectòria respecte del pla, més arriscat és l'impacte; (ii) un pla de seguretat que continga tota la trajectòria i també el sensor Q, per a delimitar la zona de vol permés; (iii) la distància del sensor Q a la coberta i el punt simètric de Q respecte del pla π, per a calibrar el làser de mesura. L'equip tècnic dubta si l'angle s'ha de calcular amb el sinus o amb el cosinus, i vol el resultat en graus amb una precisió d'una dècima.
1. Troba el punt on la trajectòria r talla el pla π i calcula l'angle que forma la recta amb el pla. Explica per què s'utilitza el sinus i no el cosinus.
Read the worked answer
Substituïm el punt genèric de r, (1 + 2t, 1 − t, t), en l'equació del pla: (1 + 2t) + (1 − t) + t = 4 → 2 + 2t = 4 → t = 1. Punt de creuament: P = (3, 0, 1). Comprovació: 3 + 0 + 1 = 4.
Angle: el vector director de r és d = (2, −1, 1) i el vector normal de π és n = (1, 1, 1). L'angle entre d i n és el complementari de l'angle entre la recta i el pla, perquè n és perpendicular al pla. Per tant: sin θ = |d·n| / (|d|·|n|) = |2 − 1 + 1| / (√6·√3) = 2/√18 = √2/3 ≈ 0,4714. θ = arcsin(0,4714) ≈ 28,1°.
Si s'usara el cosinus s'obtindria l'angle entre la recta i la normal (≈ 61,9°), que és el complementari i no respon a la pregunta. Un angle de 28,1° indica una trajectòria prou obliqua respecte de la coberta.
2. Determina l'equació general del pla que conté la recta r i el sensor Q(0, 1, 0).
Read the worked answer
Un pla queda determinat per un punt i dos vectors directors no paral·lels. Prenem el punt P(1, 1, 0) de la recta, el vector director d = (2, −1, 1) i el vector PQ = Q − P = (−1, 0, 0).
Vector normal: n' = d × PQ = ((−1)·0 − 1·0, 1·(−1) − 2·0, 2·0 − (−1)(−1)) = (0, −1, −1), equivalent a (0, 1, 1).
Pla: 0(x − 1) + 1(y − 1) + 1(z − 0) = 0 → y + z = 1.
Comprovacions: Q(0,1,0) → 1 + 0 = 1 ✓; P(1,1,0) → 1 + 0 = 1 ✓; i el punt (3, 0, 1) de la recta → 0 + 1 = 1 ✓. A més, d·(0,1,1) = −1 + 1 = 0, així que la recta és continguda en el pla (no el travessa).
3. Calcula la distància del sensor Q(0, 1, 0) al pla π i les coordenades del punt simètric de Q respecte de π.
Read the worked answer
Distància: dist(Q, π) = |0 + 1 + 0 − 4| / √(1² + 1² + 1²) = 3/√3 = √3 ≈ 1,73 m.
Punt simètric. El factor signat és (Q·n − 4)/|n|² = (1 − 4)/3 = −1. Aleshores: Q' = Q − 2·(−1)·(1, 1, 1) = (0, 1, 0) + (2, 2, 2) = (2, 3, 2).
Comprovació: el punt mitjà de QQ' és (1, 2, 1), que pertany al pla (1 + 2 + 1 = 4 ✓), i dist(Q', π) = |2 + 3 + 2 − 4|/√3 = 3/√3 = √3, igual que dist(Q, π), com ha de ser en una simetria respecte d'un pla.