Optimització d'un dipòsit cilíndric obert: cost mínim i cost fix
Una cooperativa de Vilamarxant instal·la un dipòsit cilíndric obert per dalt per a emmagatzemar aigües de rentat. La capacitat ha de ser de 0,2π m³ (aproximadament 628 litres). El fons circular es construïx amb planxa d'acer de 40 €/m² i la paret lateral corba amb xapa de 25 €/m². El radi de la base es designa per r (en metres) i l'altura per h (en metres). El taller sap que hi ha un compromís: un dipòsit molt alt i estret gasta poca base però molta paret, i un de molt baix i ample gasta molta base i poca paret, però no té clar on està el punt òptim ni com justificar-lo davant del consell rector. A més, l'empresa instal·ladora cobra sempre 150 € fixos de mà d'obra i transport, independents de les dimensions, i el consell vol saber si eixa quantitat fixa altera les dimensions òptimes. També demana una explicació del comportament del cost quan el radi s'aproxima a zero i quan creix molt, per a descartar dissenys absurds.
1. Expressa el cost total del dipòsit (sense el cost fix) en funció del radi r, indica'n el domini, i analitza els límits quan r → 0⁺ i quan r → +∞ per a justificar que existix un mínim.
Read the worked answer
La capacitat és V = π r² h = 0,2π, d'on h = 0,2/r².
Cost: C(r) = 40·(π r²) + 25·(2π r h) = 40π r² + 50π r·(0,2/r²) = 40π r² + 10π/r, amb r > 0.
Límits: • Quan r → 0⁺, el terme 10π/r domina i C(r) → +∞ (la paret es fa infinitament alta). • Quan r → +∞, el terme 40π r² domina i C(r) → +∞ (la base es fa enorme).
C(r) és contínua i derivable en (0, +∞) i tendix a +∞ en els dos extrems de l'interval, així que ha de tindre un mínim global en un punt crític interior. No existix màxim.
2. Determina les dimensions (radi i altura) que minimitzen el cost i calcula el cost mínim. Justifica que és un mínim.
Read the worked answer
Derivem C(r) = 40π r² + 10π r⁻¹: C'(r) = 80π r − 10π/r².
C'(r) = 0 → 80π r = 10π/r² → 8r³ = 1 → r³ = 1/8 → r = 1/2 m.
Segona derivada: C''(r) = 80π + 20π/r³ > 0 per a tot r > 0, així que el punt crític és un mínim (i, per l'anàlisi de límits, el mínim global).
Altura: h = 0,2/r² = 0,2/0,25 = 0,8 m.
Cost mínim: C(1/2) = 40π(0,25) + 10π/(0,5) = 10π + 20π = 30π ≈ 94,25 €.
Interpretació: el dipòsit òptim és relativament baix i ample (h/r = 1,6), perquè la paret és més barata per metre quadrat que el fons.
3. Si s'afig el cost fix de 150 € de mà d'obra i transport, canvien les dimensions òptimes? Quin és ara el cost mínim total? Què passaria si el cost fix depenguera del radi?
Read the worked answer
El nou cost és C₂(r) = 40π r² + 10π/r + 150. Com que 150 és una constant, la derivada no canvia: C₂'(r) = 80π r − 10π/r², i el punt crític continua sent r = 1/2 m, amb h = 0,8 m. Traslladar la gràfica verticalment no mou l'abscissa del mínim.
Cost mínim total: 30π + 150 ≈ 94,25 + 150 = 244,25 €.
Si el cost fix depenguera del radi (per exemple, 150 + k·r), aleshores sí que entraria en la derivada i desplaçaria el punt òptim, perquè deixaria de ser una constant additiva. Cal, per tant, comprovar sempre si un «cost fix» és realment independent de la variable de decisió abans d'eliminar-lo.