Marquesina parabòlica: àrea, altura mitjana i una junta que dividix l'àrea
Una empresa de disseny de València fabrica una marquesina decorativa. En un alçat, el perfil superior de la peça ve donat per la paràbola y = −x² + 4x i el perfil inferior per la recta y = x, amb totes dues mesures en metres i amb x compresa entre 0 i 3, on les dos corbes es tallen. La peça principal és la superfície compresa entre les dos corbes i es fabrica amb planxa d'alumini de 38 €/m². Un segon encàrrec és el panell complet sota la paràbola, des de x = 0 fins a x = 4, punt on la paràbola toca el terra; el client vol conéixer l'altura mitjana d'eixe panell per a calcular la resistència al vent. Finalment, l'arquitecte vol col·locar una junta vertical en x = k, amb 0 < k < 4, que dividisca l'àrea del panell complet en dos meitats iguals, i demana que es justifique que eixa posició és única dins del panell.
1. Calcula l'àrea de la superfície compresa entre la paràbola i la recta, i el cost de la planxa corresponent.
Read the worked answer
Primer, els punts de tall: −x² + 4x = x → −x² + 3x = 0 → x(−x + 3) = 0 → x = 0 i x = 3.
Entre 0 i 3 la paràbola està per damunt de la recta (per exemple, en x = 1: 3 > 1), així que: A = ∫₀³ [(−x² + 4x) − x] dx = ∫₀³ (−x² + 3x) dx = [−x³/3 + 3x²/2]₀³ = (−9 + 13,5) − 0 = 4,5 m².
Cost: 4,5 · 38 = 171 €.
2. Calcula l'altura mitjana del panell complet sota la paràbola entre x = 0 i x = 4 i explica què significa eixe valor.
Read the worked answer
Àrea del panell: ∫₀⁴ (−x² + 4x) dx = [−x³/3 + 2x²]₀⁴ = −64/3 + 32 = 32/3 ≈ 10,67 m².
Altura mitjana (valor mitjà d'una funció en un interval): h_med = (1/(4 − 0))·∫₀⁴ (−x² + 4x) dx = (1/4)·(32/3) = 8/3 ≈ 2,67 m.
Significat: si el panell tinguera altura constant 8/3 m, ocuparia exactament la mateixa àrea que el panell parabòlic. És el valor que caldria usar per a estimar la força del vent sobre una superfície equivalent, no l'altura màxima (que és 4 m, en x = 2).
3. Determina el valor de k, amb 0 < k < 4, tal que la recta x = k dividisca l'àrea del panell complet en dos parts iguals. Justifica que la solució és única.
Read the worked answer
L'àrea total és 32/3, així que cada part ha de valer 16/3.
A(k) = ∫₀ᵏ (−x² + 4x) dx = −k³/3 + 2k² = 16/3. Multiplicant per 3: −k³ + 6k² = 16 → k³ − 6k² + 16 = 0.
Provem k = 2: 8 − 24 + 16 = 0 ✓. Factoritzant pel mètode de Ruffini: k³ − 6k² + 16 = (k − 2)(k² − 4k − 8). Les altres arrels són k = (4 ± √(16 + 32))/2 = 2 ± 2√3, és a dir aproximadament 5,46 i −1,46, totes dues fora de l'interval (0, 4).
Per tant l'única solució vàlida és k = 2 m. Comprovació: A(2) = −8/3 + 8 = 16/3 ✓.
La unicitat es pot justificar també observant que A(k) és estrictament creixent en (0, 4), ja que A'(k) = −k² + 4k = k(4 − k) > 0 en eixe interval; per tant creua el valor 16/3 una sola vegada.