Control de qualitat en dos línies: Bayes, binomial i aproximació normal
Una planta de components elèctrics de Sagunt té dues línies de producció. La línia A fabrica el 60 % de les peces i la línia B el 40 % restant. L'historial del control de qualitat indica que el 2 % de les peces d'A i el 5 % de les de B són defectuoses. El cap de qualitat pren una peça a l'atzar i vol respondre tres qüestions: quina probabilitat hi ha que siga defectuosa; si ho és, quina probabilitat hi ha que provinga de B; i si els successos «vindre d'A» i «ser defectuosa» són independents. A més, el client principal rebutja qualsevol lot de 500 peces on hi haja 20 defectuoses o més, i exigix una estimació de la probabilitat de rebuig per a decidir si manté el contracte. La planta sap que calcular binomials amb n = 500 a mà no és viable i es planteja usar l'aproximació normal, però vol comprovar abans que les condicions ho permeten i fixar bé la correcció de continuïtat.
1. Calcula la probabilitat que una peça presa a l'atzar siga defectuosa, la probabilitat que provinga de B sabent que és defectuosa, i decidix si els successos «vindre d'A» i «ser defectuosa» són independents.
Read the worked answer
Siguen A = «peça de la línia A», B = «peça de la línia B» i D = «defectuosa». Sabem P(A) = 0,6, P(B) = 0,4, P(D|A) = 0,02, P(D|B) = 0,05.
Teorema de la probabilitat total: P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) = 0,6·0,02 + 0,4·0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032 (3,2 %).
Teorema de Bayes: P(B|D) = P(B)P(D|B)/P(D) = 0,020/0,032 = 0,625. És a dir, quasi dos de cada tres peces defectuoses provenen de B, tot i que B només fabrica el 40 %.
Independència: P(A ∩ D) = P(A)P(D|A) = 0,6·0,02 = 0,012, mentre que P(A)·P(D) = 0,6·0,032 = 0,0192. Com que 0,012 ≠ 0,0192, els successos no són independents: saber que una peça és defectuosa augmenta la probabilitat que provinga de B i reduïx la que provinga d'A.
2. Si es prenen 10 peces a l'atzar, quina és la probabilitat que exactament una siga defectuosa? Indica el model emprat i les condicions que el justifiquen.
Read the worked answer
La variable X = «nombre de defectuoses en 10 peces» seguix una distribució binomial B(10; 0,032), perquè hi ha un nombre fix de proves independents (assumim que la producció és prou gran per a considerar la probabilitat constant) i cada peça només pot ser defectuosa o correcta.
P(X = 1) = C(10,1)·0,032¹·0,968⁹ = 10·0,032·0,7462 ≈ 0,2388.
Detall del càlcul de 0,968⁹: 0,968⁹ ≈ 0,7462. Així, 10·0,032 = 0,32 i 0,32·0,7462 ≈ 0,2388.
La probabilitat és, doncs, d'aproximadament el 23,9 %. Amb un n tan menut l'aproximació normal no és adequada; cal el càlcul binomial exacte.
3. Per a un lot de 500 peces, estima la probabilitat que siga rebutjat (20 defectuoses o més) mitjançant l'aproximació normal, comprovant abans les condicions i aplicant la correcció de continuïtat.
Read the worked answer
X ~ B(500; 0,032). Mitjana: μ = np = 500·0,032 = 16. Variància: np(1 − p) = 500·0,032·0,968 = 15,488. Desviació típica: σ = √15,488 ≈ 3,9355.
Condicions per a l'aproximació: np = 16 ≥ 5 i n(1 − p) = 500·0,968 = 484 ≥ 5. Es complixen, així que podem aproximar per N(16; 3,9355).
Correcció de continuïtat: P(X ≥ 20) ≈ P(Y ≥ 19,5), amb Y normal. z = (19,5 − 16)/3,9355 = 3,5/3,9355 ≈ 0,889. P(Z ≥ 0,889) = 1 − 0,813 ≈ 0,187.
La probabilitat de rebuig és aproximadament del 18,7 % (prop d'un lot de cada cinc). Sense correcció de continuïtat s'obtindria z = (20 − 16)/3,9355 ≈ 1,016 i una probabilitat ≈ 0,155, un error apreciable; per tant, la correcció és important ací perquè el valor 20 és una cua discreta amb poques unitats de marge.