Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals
Aquest bloc de la PAU de Matemàtiques II agrupa l'àlgebra lineal: àlgebra de matrius, determinants, rang i discussió i resolució de sistemes d'equacions lineals. Les preguntes solen combinar càlcul (inversa, determinant, rang) amb un sistema que depén d'un paràmetre, on cal classificar-lo i resoldre'l per a cada valor.
Rang, inversa i determinants
El rang d'una matriu és el nombre de files (o columnes) linealment independents i coincideix amb l'orde del major menor no nul; en la pràctica s'obté escalonant la matriu per files i comptant les files no nul·les. Les transformacions elementals conserven el rang, però no totes conserven el determinant: canviar dues files canvia el signe, multiplicar una fila per k multiplica el determinant per k, i sumar a una fila un múltiple d'una altra no el modifica. Una matriu quadrada A és invertible si i només si det(A) ≠ 0, i llavors A⁻¹ = adj(A)ᵀ/det(A). En orde 3, det(A) = 0 també equival a dir que les files són linealment dependents. Propietats que estalvien càlculs: det(AB) = det(A)·det(B) i det(kA) = kⁿ·det(A) en orde n.
Discussió de sistemes: Rouché–Capelli
Escriu el sistema com AX = B, amb A la matriu de coeficients i A* l'ampliada. Si rang(A) < rang(A*), el sistema és incompatible; si rang(A) = rang(A*) = n (nombre d'incògnites), és compatible determinat; si rang(A) = rang(A*) < n, és compatible indeterminat amb n − rang paràmetres lliures. Amb paràmetre, l'estratègia és: calcula det(A) i iguala'l a zero per a obtindre els valors crítics; per a la resta de valors, resol per Cramer o per la inversa; per a cada valor crític, estudia per separat el rang d'A i el d'A*.
Exemple resolt
Discutix el sistema x + y + z = 1, x + ay + z = 1, x + y + az = 1. El determinant de la matriu de coeficients val (a − 1)². Si a ≠ 1, det ≠ 0: compatible determinat, i restant la primera equació de les altres s'obté y = 0, z = 0, x = 1. Si a = 1, les tres equacions són idèntiques (x + y + z = 1): rang(A) = rang(A*) = 1 < 3, compatible indeterminat amb dos paràmetres, solució (1 − λ − μ, λ, μ).
Errors que costen punts
Discutir només amb det(A) = 0 sense calcular el rang de l'ampliada; aplicar Cramer quan el determinant s'anul·la; oblidar que un paràmetre pot fer desaparéixer una incògnita d'una equació sense anul·lar el determinant (cal estudiar-ho a banda); i confondre el nombre d'incògnites amb el rang en comptar els paràmetres lliures.