Geometria a l'espai: vectors, rectes, plans, distàncies i angles
La geometria tridimensional de la PAU demana dominar els tres productes de vectors, obtindre equacions de rectes i plans a partir de punts, vectors i posicions relatives, i calcular distàncies i angles. És un bloc molt mecànic, però on un signe o una normalització oblidada arruïna tot l'apartat.
Vectors: escalar, vectorial i mixt
El producte escalar u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ dona perpendicularitat quan val 0 i permet calcular |u| = √(u·u) i cosinus d'angles. El producte vectorial u × v és perpendicular a tots dos, el seu mòdul és l'àrea del paral·lelogram que determinen i s'obté amb el determinant formal dels vectors (i, j, k). El producte mixt [u, v, w] = u·(v × w) és el determinant 3×3 de les components: val zero si i només si els tres vectors són coplanaris, i el seu valor absolut és el volum del paral·lelepípede.
Rectes i plans
Una recta queda determinada per un punt P i un vector director v: forma vectorial (x, y, z) = P + t·v, o contínua (x − p₁)/v₁ = (y − p₂)/v₂ = (z − p₃)/v₃. Un pla s'escriu Ax + By + Cz + D = 0 amb vector normal n = (A, B, C); per a trobar-lo a partir de tres punts, calcula dos vectors i fes-ne el producte vectorial. La recta perpendicular a un pla té per director el normal del pla.
Posicions relatives
Dues rectes amb directors dependents són paral·leles o coincidents. Amb directors independents, calcula el producte mixt del vector director de la primera, el de la segona i el vector que uneix un punt de cada recta: si val 0, es tallen (secants); si no, es creuen.
Distàncies i angles
Distància punt-pla: d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). Distància punt-recta: |AP × v| / |v|. Angle entre plans: cos α = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|). Angle entre recta i pla: sin β = |v·n| / (|v||n|), perquè l'angle es mesura respecte de la normal.
Exemple resolt
Distància de P(1, 2, 3) al pla π: 2x − y + 2z − 4 = 0. Substituint: |2·1 − 2 + 2·3 − 4| = |2| = 2. El mòdul del normal és √(4 + 1 + 4) = 3, així que d = 2/3.
Errors que costen punts
No normalitzar el vector en calcular angles; usar el cosinus en l'angle recta-pla (cal sinus); perdre el valor absolut en les distàncies; prendre el vector normal com a director de la recta continguda en el pla; i equivocar-se en els signes del producte vectorial.