Funcions: límits, continuïtat, derivades i aplicacions
Aquest és el bloc més ponderat de la prova: límits, continuïtat, derivades i aplicacions (monotonía, extrems, curvatura, optimització i representació). Les preguntes típiques demanen estudiar la continuïtat i la derivabilitat d'una funció definida a trossos, calcular asíntotes, classificar extrems o resoldre un problema d'optimització amb restricció.
Límits i continuïtat
Una funció és contínua en x = a si existeix f(a), existeix el límit quan x → a i tots dos coincideixen; en funcions a trossos cal comparar els límits laterals en el punt de canvi. Per a les asíntotes: vertical quan el denominador s'anul·la i no es pot simplificar (estudia els límits laterals); horitzontal quan lim f(x) = L en ±∞; obliqua y = mx + n amb m = lim f(x)/x i n = lim (f(x) − mx), quan m és finit i no nul. El teorema de Bolzano (funció contínua amb canvi de signe en un interval) és l'eina per a demostrar que una equació té solució, i el de Weierstrass garantix extrems absoluts en intervals tancats.
Derivades
Cal dominar la derivada com a límit del quocient incremental, perquè apareix quan es pregunta si una funció a trossos és derivable en el punt d'unió: es calculen les derivades laterals amb la definició i s'igualen. A més, les regles de producte, quocient i cadena, i les derivades de potències, exponencials, logaritmes i trigonomètriques.
Aplicacions
f′(x) > 0 ⇒ creixent. Un punt amb f′(x₀) = 0 és extrem relatiu si f′ canvia de signe (o si f″(x₀) ≠ 0, amb f″ > 0 mínim i f″ < 0 màxim). f″ > 0 ⇒ convexa; els punts d'inflexió exigixen canvi de curvatura, no sols f″ = 0. En optimització, escriu la funció objectiu en una sola variable usant la restricció, deriva, resol i comprova que el punt és el màxim o mínim demanat i que està dins del domini.
Exemple resolt
Siga f(x) = x² + ax + b si x < 1, i f(x) = 2/x si x ≥ 1. Continuïtat en x = 1: 1 + a + b = 2, és a dir a + b = 1. Derivabilitat: la derivada per l'esquerra és 2x + a, que en x = 1 val 2 + a; la de la dreta és −2/x², que val −2. Igualant, 2 + a = −2 ⇒ a = −4 i b = 5.
Errors que costen punts
Derivar un tros sense comprovar abans la continuïtat; declarar extrem un punt amb f′ = 0 sense estudiar el canvi de signe; confondre asíntota horitzontal amb obliqua; oblidar que en optimització les longituds i àrees han de ser positives; i no verificar les hipòtesis de Bolzano (continuïtat i signes oposats) en les demostracions.