Integració i aplicacions: àrees i teorema fonamental
La integració a la PAU apareix en dos formats: càlcul de primitives i integrals definides (amb Barrow) i càlcul d'àrees de recintes limitats per corbes. També pot preguntar-se el teorema del valor mitjà integral o la funció integral. El domini de les tècniques bàsiques i de la interpretació geomètrica és el que decidix la puntuació.
Primitives i mètodes
Comença per les immediates (potències, exponencials, logaritmes, trigonomètriques) i després aplica: substitució, quan apareix una funció i la seua derivada (o un canvi clar com t = x², t = √x); integració per parts, ∫u dv = uv − ∫v du, útil amb productes de polinomi per exponencial o logaritme; i descomposició en fraccions simples per a integrals racionals amb denominadors factoritzables. La primitiva indefinida porta constant C; la integral definida, no.
Teorema fonamental i regla de Barrow
Si f és contínua en [a, b] i F n'és una primitiva, llavors ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Conseqüència directa: la derivada de la funció integral G(x) = ∫ₐˣ f(t) dt és f(x), fet que s'usa quan l'extrem superior és una funció de x (cal aplicar la regla de la cadena). El teorema del valor mitjà integral assegura que existix c en (a, b) amb f(c) = (1/(b − a))∫ₐᵇ f.
Àrees
L'àrea entre una corba i l'eix OX és ∫ₐᵇ |f(x)| dx: si la corba canvia de signe, dividix l'interval en els punts de tall. L'àrea entre dues corbes és ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx, on a i b són les abscisses dels punts d'intersecció, i cal ordenar les funcions o prendre valor absolut si canvien d'orde.
Exemple resolt
Àrea del recinte limitat per y = x² i y = x + 2. Talls: x² = x + 2 ⇒ x² − x − 2 = 0 ⇒ x = −1, x = 2. Entre estos punts la recta va per damunt, així que Àrea = ∫₋₁² (x + 2 − x²) dx = [x²/2 + 2x − x³/3]₋₁² = (2 + 4 − 8/3) − (1/2 − 2 + 1/3) = 10/3 + 7/6 = 9/2.
Errors que costen punts
Integrar sense trobar els punts d'intersecció i prendre límits arbitraris; oblidar el valor absolut quan la funció és negativa (una integral negativa no és una àrea negativa); no dividir l'interval quan hi ha talls amb l'eix; perdre el dx o els parèntesis en aplicar Barrow; i oblidar la regla de la cadena quan l'extrem superior de la integral és una funció de x.