Probabilitat: condicionada, independència i teoremes bàsics
El bloc de probabilitat de la PAU treballa amb experiments compostos: unions i interseccions, probabilitat condicionada, independència, teorema de la probabilitat total i teorema de Bayes. Els enunciats solen presentar-se com a taules de contingència, diagrames d'arbre o descripcions d'urnes i tests diagnòstics, i demanen calcular una probabilitat o raonar si dos successos són independents.
Regles bàsiques
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); si A i B són incompatibles, P(A ∩ B) = 0 i la unió se suma directament. P(Ā) = 1 − P(A), clau en enunciats del tipus «almenys un». La probabilitat condicionada és P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), amb P(B) > 0, i equival a restringir l'espai mostral a B.
Independència
A i B són independents si P(A ∩ B) = P(A)·P(B), cosa equivalent a P(A|B) = P(A) quan P(B) > 0. Independent no vol dir incompatible: dos successos incompatibles amb probabilitat positiva són, de fet, dependents, perquè saber que n'ha ocorregut un duu la probabilitat de l'altre a zero.
Probabilitat total i Bayes
Si els successos B₁, …, Bₙ són una partició de l'espai mostral, P(A) = Σ P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ). El teorema de Bayes invertix el condicionament: P(Bᵢ|A) = P(Bᵢ)·P(A|Bᵢ) / Σ P(Bⱼ)·P(A|Bⱼ). En un arbre, les probabilitats de cada camí es multipliquen i les de camins diferents que acaben en el mateix succés se sumen.
Exemple resolt
Una malaltia té prevalença 0,02. El test té sensibilitat 0,90 (positiu si malalt) i especificitat 0,95 (negatiu si sa). Volem P(malalt | positiu). Pel teorema de Bayes: numerador 0,90·0,02 = 0,018; denominador 0,018 + P(positiu | sa)·P(sa) = 0,018 + 0,05·0,98 = 0,018 + 0,049 = 0,067. Per tant, P ≈ 0,018/0,067 ≈ 0,269. Fixa't que la probabilitat posterior és molt menor que la sensibilitat: és l'efecte de la baixa prevalença.
Errors que costen punts
Confondre P(A|B) amb P(B|A); assumir independència a partir de la incompatibilitat; multiplicar probabilitats de successos dependents sense condicionar; oblidar el denominador en Bayes o calcular-lo sense incloure-hi tots els camins; i no usar el complement en «almenys un», que quasi sempre és més ràpid que sumar cas per cas.