Estadística: binomial, normal i aproximacions
Este bloc de la PAU demana modelar situacions reals amb una distribució de probabilitat i calcular probabilitats: comptar èxits en n assajos independents (binomial), treballar amb una variable contínua simètrica (normal) i aproximar la primera per la segona quan n és gran. És un bloc curt però amb errors de plantejament molt freqüents.
Distribució binomial B(n, p)
Modela el nombre d'èxits en n assajos independents amb la mateixa probabilitat p. La funció de probabilitat és P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·q^(n−k), amb q = 1 − p, i la funció de distribució s'obté sumant els valors fins a k. Els paràmetres són μ = np i σ² = npq, de manera que σ = √(npq). Condicions per a aplicar-la: nombre fix d'assajos, només dos resultats possibles, independència i p constant.
Distribució normal N(μ, σ)
És simètrica respecte de μ i té punts d'inflexió a μ ± σ. Per a calcular probabilitats es tipifica: z = (x − μ)/σ, i es busca en la taula de la N(0, 1). Propietats que estalvien consultes: P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a), P(Z ≥ a) = 1 − P(Z ≤ a) i P(−a ≤ Z ≤ a) = 2P(Z ≤ a) − 1.
Aproximació de la binomial per la normal
Quan n és gran i tant np com nq són almenys 5, es pot aproximar B(n, p) per N(np, √(npq)). Cal aplicar la correcció de continuïtat: P(X ≤ k) ≈ P(Z ≤ (k + 0,5 − μ)/σ), P(X ≥ k) ≈ P(Z ≥ (k − 0,5 − μ)/σ) i P(X = k) ≈ P(k − 0,5 ≤ Z ≤ k + 0,5).
Exemple resolt
Siga X ~ B(100; 0,3). Aproxima P(X ≤ 25). Ací μ = 30 i σ = √(100·0,3·0,7) = √21 ≈ 4,583, i np = 30, nq = 70, així que l'aproximació és vàlida. Amb correcció: P(X ≤ 25) ≈ P(Z ≤ (25,5 − 30)/4,583) = P(Z ≤ −0,982) = 1 − 0,8370 ≈ 0,163. Sense correcció s'obtindria un valor inferior, que subestima la probabilitat.
Errors que costen punts
Oblidar la correcció de continuïtat en aproximar; invertir el sentit de la desigualtat en buscar el complement; confondre σ amb σ²; no tipificar abans d'anar a la taula; i aplicar la normal a una binomial amb n massa xicoteta o amb np o nq menors que 5.