平方根の答案点検 - どこで「まとめてよい」と判断できるか
定期テスト前の放課後、数学係のあなたは、同じ班の3人（Aさん・Bさん・Cさん）が受けた平方根の小テストを点検することになった。問題は次の3問で、電卓の使用は禁止、答えだけでなく根拠も書くよう指示されていた。 (1) √18 − √8 + √2 を計算する。 (2) √2 + √8 を、これ以上簡単にできない形まで整理する。 (3) 2 < √n < 3 を満たす自然数 n をすべて書く。 Aさんの答え (1) 2√2 (2) √10 (3) 5, 6, 7, 8 Bさんの答え (1) √2 (2) 3√2 (3) 5, 6, 7, 8 Cさんの答え (1) 4√2 (2) 3√2 (3) 5, 6, 7, 8 どの答案も途中式が1行しか残っておらず、3人とも「ルートの中をまとめた」「共通な因数で約分した」と口頭で説明している。答えの数がどれも似ているため、ぱっと見ただけでは正誤を判断できない。次の学習会までに、各設問の正しい答えを確定し、誤っている答案については「どの変形が、なぜ許されないのか」を、値の大きさを比べる方法と、2乗して比べる方法の両方で説明する1枚の用紙を作るよう、先生から指示されている。残り時間は20分で、省略された途中式の復元も自分で行う必要がある。
1. (2)について、Aさん・Bさん・Cさんの答案の正誤を判定し、√2 + √8 を √10 と変形してはいけない理由を、値の大きさと2乗の両方を用いて説明せよ。
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判定：BとCが正しく、Aが誤り。
まず √8 = 2√2 と直す。すると √2 + √8 = √2 + 2√2 = 3√2 となり、BとCの答え 3√2 が正しい。
Aの √10 が誤りである理由は2通りで示せる。
- 値の大きさで比べる：√2 ≈ 1.41、√8 ≈ 2.83 なので和は約 4.24。一方 √10 ≈ 3.16 で、明らかに異なる。
- 2乗して比べる：(√2 + √8)² = 2 + 8 + 2√2·√8 = 10 + 2√16 = 10 + 8 = 18。一方 (√10)² = 10。18 ≠ 10 なので等しくない。
つまり √a + √b = √(a+b) という変形は一般には成り立たない。Aは「ルートの中をまとめた」と説明しているが、まとめてよいのは積や商（√a·√b = √(ab)、√a ÷ √b = √(a/b)）であって、和や差ではない。この区別が判断の分かれ目になる。
2. (1)と(3)について、3人の答案の正誤を確定し、誤った答案についてはどの操作が抜けたために誤りになったのかを、途中式を復元して説明せよ。
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(1) 正しい答えは 2√2 で、Aが正解、BとCが誤り。
途中式を復元すると、√18 = 3√2、√8 = 2√2 だから 3√2 − 2√2 + √2 = (3 − 2 + 1)√2 = 2√2。
- Bの「√2」：3√2 − 2√2 = √2 まで計算したあと、最後の「+√2」を足し忘れている。
- Cの「4√2」：3√2 + √2 = 4√2 としたあと、−2√2 を引き忘れている。
BもCも、項の一部だけを処理して残りを落としている点が共通している。√ のついた項も文字式と同じく同類項として係数をまとめる、という見方ができていれば防げる誤りである。
(3) 正しい答えは 5, 6, 7, 8 で、3人とも正解。
2 < √n < 3 の各辺はすべて正なので、2乗しても大小関係は変わらない。4 < n < 9 となり、n は自然数だから 5, 6, 7, 8。n = 4 と n = 9 は等号になってしまうので含めない、という境界の判断が要点である。
3. √a + √b = √(a+b) が成り立つのはどのようなときか。a, b がともに0以上の数であるとして、条件を求め、その条件以外では成り立たない理由を述べよ。
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両辺とも0以上なので、2乗しても同値である。
左辺の2乗：(√a + √b)² = a + b + 2√(ab) 右辺の2乗：(√(a+b))² = a + b
これらが等しい条件は a + b + 2√(ab) = a + b すなわち 2√(ab) = 0、よって ab = 0。
したがって a = 0 または b = 0 のときだけ 等式が成り立つ。
確認：a = 0, b = 9 のとき、左辺 = 0 + 3 = 3、右辺 = √9 = 3 で一致する。a = 4, b = 9 では左辺 = 2 + 3 = 5、右辺 = √13 ≈ 3.61 で一致しない。
つまり Aさんの変形は「どちらかが0」という特別な場合にしか通用しない操作を、一般の場合に使ってしまったことになる。等式変形は、成り立つ条件を確認してから使うかどうかを判断する必要がある。