Niigata Public High School Entrance Examination - Mathematics flashcards

32 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

解の公式

二次方程式 ax²+bx+c=0 の解は x=(−b±√(b²−4ac))/(2a) で求められる。a≠0 のとき常に使え、因数分解できない場合に有効な公式である。

平方根の有理化

分母に√を含む式は、分母と分子に同じ√を掛けて分母を整数にする。例: 6/√3=2√3。√a×√b=√(ab)、√a÷√b=√(a/b) も成り立つ。

和と差の積の展開

(a+b)(a−b)=a²−b² となり、平方の差になる。例: (x+3)(x−3)=x²−9。(a+b)²=a²+2ab+b² などの公式と合わせて使う。

因数分解の基本形

x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。積が ab、和が a+b になる2数を探す。先に共通因数をくくり出すと2数を見つけやすい。

不等式の性質

両辺に同じ数を加減しても不等号の向きは変わらない。負の数を掛けたり割ったりすると向きが逆になる。例: −2x>6 より x<−3。

無理数

分数の形で表せない実数で、小数にすると循環しない無限小数になる。√2 や円周率 π が例。√9=3 のように根号が外れる数は有理数である。

連立方程式の加減法

2つの式を足すか引くことで一方の文字を消去して解く方法。係数の絶対値をそろえてから計算する。例: x+y=5 と x−y=1 を足すと 2x=6。

等式の変形

等式をある文字について解くには、その文字を含む項を左辺に、他を右辺に移項し、係数で両辺を割る。例: 3x+2y=6 を y について解くと y=(6−3x)/2。

円周角の定理

同じ弧に対する円周角はすべて等しく、その大きさは中心角の半分になる。直径に対する円周角は90°で、円周角の大きさは弧の長さに比例する。

三平方の定理

直角三角形では斜辺の2乗が他の2辺の2乗の和に等しい。a²+b²=c²。逆も成り立ち、この関係が成り立てばその三角形は直角三角形である。

相似比と面積比・体積比

相似な図形では、相似比 a:b に対して面積比は a²:b²、体積比は a³:b³ になる。例: 相似比1:2なら面積比1:4、体積比1:8である。

中点連結定理

三角形の2辺の中点を結ぶ線分は残りの1辺に平行で、長さはその半分になる。四角形の各辺の中点を結んでできる図形は平行四辺形である。

おうぎ形の弧と面積

半径 r、中心角 a°のおうぎ形で、弧の長さは 2πr×a/360、面積は πr²×a/360。面積は (1/2)×弧の長さ×半径 でも求められる。

球と円錐の計量

半径 r の球は表面積 4πr²、体積 (4/3)πr³。円錐は側面積 πrl（l は母線）、体積 (1/3)πr²h で、底面積×高さ÷3 に等しい。

三角形の合同条件

3辺がそれぞれ等しい、2辺とその間の角が等しい、1辺とその両端の角が等しい、のいずれかが成り立てば合同。直角三角形では斜辺と1鋭角でもよい。

平行線と角

2直線が平行なとき同位角は等しく錯角も等しい。逆に同位角または錯角が等しければ2直線は平行である。平行線の間の距離はどこでも等しい。

一次関数の傾きと切片

y=ax+b の a が傾きで、x が1増えるときの y の増加量を表す。b は切片で x=0 のときの y の値。変化の割合は常に a に等しい。

垂直な直線の傾き

2直線 y=a₁x+b₁、y=a₂x+b₂ が垂直に交わるとき傾きの積は −1 になる。平行になる条件は a₁=a₂ で切片は異なってもよい。

y=ax² の変化の割合

x が p から q まで増加するときの変化の割合は a(p+q) で、2点を結ぶ直線の傾きに等しい。y=ax² では変化の割合は一定でない。

放物線と直線の交点

y=ax² と y=mx+n の交点の x 座標は ax²=mx+n を解いて求める。二次方程式の解が2個なら交点2個、重解なら1点で接する。

y=ax² の変域

a>0 で x の変域が 0 を含むとき最小値は 0、最大値は両端の y のうち大きい方。a<0 のときは最大値が 0 で最小値が両端の小さい方になる。

一次関数の式の求め方

通る2点を y=ax+b に代入し連立方程式で a、b を決める。傾きと1点が与えられた場合は、その1点を代入して切片 b だけ求めればよい。

グラフの平行移動

y=ax² のグラフを x 軸方向に p、y 軸方向に q だけ平行移動した放物線は y=a(x−p)²+q と表せる。頂点の座標は (p, q) になる。

座標平面上の三角形の面積

3点の座標から面積を求めるには、x 軸や y 軸に平行な線で直角三角形や台形に分割するか、軸上の点を底辺として2つの三角形に分ける。

中央値

資料を小さい順に並べたときの中央の値で、個数が偶数なら中央2つの値の平均をとる。平均値と異なり、極端に大きい外れ値の影響を受けにくい。

最頻値

度数が最も大きい階級の階級値、または最も多く現れる値で、分布の山を表す。階級に分けた資料では階級値で答える。複数存在することもある。

相対度数

その階級の度数を度数の合計で割った値で、合計は1（百分率なら100%）になる。例: 度数5、合計50なら0.1。度数の異なる資料どうしの比較に使う。

四分位範囲

第3四分位数から第1四分位数を引いた値で、資料の中央50%が含まれる範囲を表し、散らばり具合を比較できる。範囲は最大値から最小値を引いた値。

確率の基本

同様に確からしい根元事象の総数が n、ある事象に含まれる場合の数が a のとき確率は a/n。値は0以上1以下になる。例: さいころの偶数は 3/6=1/2。

余事象の確率

事象 A が起こらない事象を余事象といい、その確率は 1−P(A) で求められる。「少なくとも1つ」の確率は余事象で考えると計算しやすい。

標本調査

母集団から無作為に標本を取り出して調査し、その結果から母集団の性質を推測する方法。無作為抽出により偏りを小さくし、全数調査が難しい場合に用いる。

標本比率からの推定

標本における比率が母集団でも同じだとみなし、比例式で全体の数量を推定する。母集団の数量＝標本の比率×母集団の大きさ、として求められる。