Niigata Public High School Entrance Examination - Mathematics case studies

平方根の答案点検 - どこで「まとめてよい」と判断できるか

定期テスト前の放課後、数学係のあなたは、同じ班の3人（Aさん・Bさん・Cさん）が受けた平方根の小テストを点検することになった。問題は次の3問で、電卓の使用は禁止、答えだけでなく根拠も書くよう指示されていた。 (1) √18 − √8 + √2 を計算する。 (2) √2 + √8 を、これ以上簡単にできない形まで整理する。 (3) 2 < √n < 3 を満たす自然数 n をすべて書く。 Aさんの答え (1) 2√2 (2) √10 (3) 5, 6, 7, 8 Bさんの答え (1) √2 (2) 3√2 (3) 5, 6, 7, 8 Cさんの答え (1) 4√2 (2) 3√2 (3) 5, 6, 7, 8 どの答案も途中式が1行しか残っておらず、3人とも「ルートの中をまとめた」「共通な因数で約分した」と口頭で説明している。答えの数がどれも似ているため、ぱっと見ただけでは正誤を判断できない。次の学習会までに、各設問の正しい答えを確定し、誤っている答案については「どの変形が、なぜ許されないのか」を、値の大きさを比べる方法と、2乗して比べる方法の両方で説明する1枚の用紙を作るよう、先生から指示されている。残り時間は20分で、省略された途中式の復元も自分で行う必要がある。. (2)について、Aさん・Bさん・Cさんの答案の正誤を判定し、√2 + √8 を √10 と変形してはいけない理由を、値の大きさと2乗の両方を用いて説明せよ。. √a + √b = √(a+b) が成り立つのはどのようなときか。a, b がともに0以上の数であるとして、条件を求め、その条件以外では成り立たない理由を述べよ。. 判定：BとCが正しく、Aが誤り。 まず √8 = 2√2 と直す。すると √2 + √8 = √2 + 2√2 = 3√2 となり、BとCの答え 3√2 が正しい。 Aの √10 が誤りである理由は2通りで示せる。 1.

平行四辺形の証明 - どの根拠なら使ってよいか

2年生の図形の授業で、平行四辺形ABCDの対角線の交点をOとし、「AO=CO、BO=DO」を証明する課題が出た。配られた図には AB=5cm、BC=8cm と書かれており、辺ABと辺DC、辺ADと辺BCがそれぞれ平行であることが仮定として与えられている。授業の後半、先生は3人の答案を黒板に貼り、どこまでが証明として認められるかをクラス全体で検討することにした。根拠として使ってよいのは、仮定と、それまでに証明済みの定義・定理だけである。 Xさんの答案：△AOBと△CODにおいて、AB=CD（平行四辺形の対辺）、∠OAB=∠OCD、∠OBA=∠ODC（平行線の錯角）。1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので合同。よってAO=CO、BO=DO。 Yさんの答案：平行四辺形の対角線は中点で交わるから、AO=CO、BO=DO。よってAO=CO、BO=DO。 Zさんの答案：AB∥DC、AD∥BCより2組の対辺がそれぞれ平行なので、△AOB≡△COD。よってAO=CO、BO=DO。 あなたは司会役として、3つの答案のどこが認められ、どこが認められないかを整理して説明することになった。授業の残り時間は10分で、黒板にかけられる図は1つだけである。. X・Y・Zの3つの答案をそれぞれ判定し、認められない答案についてはどの部分が問題なのかを具体的に指摘せよ。. Yさんの答案が証明として通用しない理由を、証明の順序という観点から説明し、代わりにどの根拠を使えばよいかを述べよ。. AB=5cm、BC=8cm の平行四辺形で、対角線ACの長さとして考えられる範囲を求めよ。また、ACの長さが1つに決まらない理由を、図形の決定条件という観点から説明せよ。.

放物線と直線のパネル作り - 変域と上下関係の判断

文化祭の展示で、Aさんたちの班は「放物線と直線」をテーマにしたパネルを作っている。使う関数は y = ax²（a は正の定数）と y = 2x + 3 で、x の変域は −2 ≦ x ≦ 4 と決まった。a の値は、先生が出したヒント「x が1から3まで増加するときの変化の割合が4である」から求める約束になっている。班にはグラフ用紙と定規しかなく、グラフをかく前に計算で見通しを立てる必要がある。作業の途中で、班員から次の3つの意見が出た。 ① a の値は 4 でよい。 ② y = ax² の y の変域は、変域の両端 x = −2 と x = 4 のときの y の値を比べて 4a ≦ y ≦ 16a とすればよい。 ③ 2つのグラフの上下関係は、変域の両端の x での y の値を調べれば判断できる。 パネルにはグラフの概形と、それぞれの判断の根拠を短い文章で書き込む。締め切りは明日で、あなたは3つの意見を検討し、正しい結論と理由をまとめる担当になった。. 意見①の正誤を判定し、a の正しい値を、変化の割合の定義に戻って求めよ。. a = 1 のとき、−2 ≦ x ≦ 4 における y = x² の y の変域を求め、意見②がなぜ誤りなのかを説明せよ。. 意見③の正誤を判定し、y = 2x + 3 のグラフが y = x² のグラフより上側にあるような x の範囲を、変域 −2 ≦ x ≦ 4 の中で求めよ。.

通学時間の調査 - 標本の取り方と代表値の選び方

立方体の糸と切断面 - 表面上の最短経路の判断

文化祭の数学展示で、1辺6cmの立方体ABCDEFGHの模型を作ることになった。底面ABCD、上面EFGHで、EはAの真上、FはBの真上、GはCの真上、HはDの真上にある。展示では、頂点Aから頂点Gまで、立方体の表面に沿って赤い糸をぴんと張る。班員からは次の3つの案が出て、意見が分かれている。 案1：辺に沿ってA→B→C→Gとたどるので18cm。 案2：立方体の内部を突っ切る対角線と同じで6√3cm。 案3：展開図で考えると6√5cm。 さらに、模型の一部を切り取って断面を見せる企画もあり、頂点A、C、Fを通る平面で立方体を切ったときの切り口の形と面積を、あらかじめ見当をつけておく必要がある。本番まで1週間で、図をかいて納得いくまで確かめる時間はあまりない。あなたは、3つの案のどれが正しいかを判断し、切り口についても説明する担当になった。. 3つの案のうち、表面上をAからGへ向かう糸の長さとして正しいものを選び、展開図を用いて長さを導け。. 案2の6√3cmは正しい長さだが、この問題の答えにはならない。その理由を、表面上の道と立体の内部の道の違いにふれて説明せよ。また、案1との大小関係からわかることを述べよ。. 立方体を頂点A、C、Fを通る平面で切ったとき、切り口の形と面積を求めよ。判断の根拠も示せ。.