Niigata Public High School Entrance Examination - Mathematics common mistakes
Niigata Public High School Entrance Examination - Mathematics · Understand the traps and how to avoid them.
√12＋√27 を √39 と答える、√50 を 2√25 で止める、6/√3 を有理化せずにそのまま答えにするなど、根号を含む計算を途中の変形なしで処理してしまう。
√a×√b＝√(ab) という乗法の規則を加法にも当てはめてしまい、根号の中を最も小さい自然数にする手順を暗算で飛ばしてしまうため。
What to do instead
まず根号の中を素因数分解し、外に出せる2乗の因数を探して a√b の形に直す。そのうえで√の部分が同じ項だけを同類項としてまとめる。分母に√が残ったら有理化の1行を必ず書き、最後に元の式へ概数（√2≒1.41 など）を入れて桁感を確認する。
(x＋3)²−(x−2)(x＋5) のような式で、− を後ろの括弧の初項だけに掛けて定数項の符号を落としたり、(x＋3)² を x²＋9 と展開して中央項 2ab を忘れたりする。
展開の各行を書かずに暗算でまとめるため。特に「引き算の直後の括弧」は符号が崩れやすく、公式の係数2を落としても気づく手立てがない。
What to do instead
展開・因数分解は1行1操作で書き、−( ) を外す行を独立させる。仕上げに x＝1 など簡単な数を元の式と自分の答えの両方に代入し、値が一致するか確かめる。
x²＝16 を x＝4 と片方だけ書く、二次方程式で解の公式の分母を 2a ではなく a とする、文章題で求めた解が人数や長さとして妥当か確かめずに答える。
平方根の定義（±√）が曖昧なまま計算処理だけを覚えているため。文章題では立式に集中し、解の吟味という工程を忘れてしまう。
What to do instead
x²＝k は必ず x＝±√k と書く。解の公式は a, b, c を紙に書き出してから代入し、分母が 2a であることを指で確認する。文章題は「負の解や小数の解は題意に合うか」を一言添えて答案を閉じる。
「∠ABCの二等分線を作図せよ」という問題で、分度器や目分量で線を引き、コンパスの弧の跡を消してしまう。垂線を作図する際も、弧の交点を取る前に定規で線を引いてしまう。
作図を「図を描く作業」と捉え、どの作図がどの性質（2点から等距離、2辺から等距離、90°）に対応するかを覚えていないため。
What to do instead
垂直二等分線＝2点から等距離、角の二等分線＝2辺から等距離、垂線＝90°、と根拠をセットで覚える。コンパスの弧は消さずに残し、作図後に「与えられた条件を満たしているか」を図の上で指差し確認する。
合同・相似の証明で結論を先に書き、使った合同条件（3組の辺、2辺とその間の角、1辺と両端の角）を最後に書かない。また対応する頂点の順序を入れ替えて △ABC≡△DEF と書いてしまう。
「〜だから」という根拠と結論の対応を意識せず、思いついた順に答案を書いてしまうため。頂点の対応順は図の見た目で決めてしまう。
What to do instead
「仮定より」「〜なので」の後には必ず根拠を続け、結論の直前に合同条件を明記する。等しい辺や角には同一のマークを図に書き込み、その順で頂点を並べてから文を書く。
円錐の側面積を求める問題で、展開図の扇形の弧の長さが底面の円周に等しいことを使わず、中心角の式を丸暗記して当てはめ間違える。相似比と面積比・体積比を混同する。
立体のまま公式を覚えようとし、展開図や断面を自分で描いて確かめる習慣がないため。
What to do instead
側面の展開図を必ず描き、「弧の長さ＝底面の円周」「扇形の半径＝母線」を等式にしてから中心角を出す。相似比が a:b なら面積比は a²:b²、体積比は a³:b³ であると式の横に書き添えてから使う。
2点 (1, 3)、(4, 9) を通る直線の傾きを (xの増加量)/(yの増加量) と逆に計算する。y＝ax＋b の b を求めず、切片を目分量や見た目で決めてしまう。
「傾き＝変化の割合」の定義が曖昧で、公式を形だけで覚えているため。グラフを描かずに式だけで処理している。
What to do instead
傾き＝(yの増加量)/(xの増加量) を毎回分数の形で書いてから約分する。切片は求めた a と1点を y＝ax＋b に代入して求める。最後に方眼へ2点と直線を描き、傾きと切片の符号を目で確認する。
y＝ax² で x の変域が −1≦x≦3 のとき、両端の x だけを代入して y の最小値を a とし、x＝0 のときの y＝0 を落とす。変化の割合を求める問題で計算が止まる。
放物線のグラフを書かず端点の計算だけで済ませるため。変域は「グラフの一部を切り取ったもの」という感覚が抜けている。
What to do instead
変域の問題は放物線の概形を必ず描き、頂点（x＝0）が変域に含まれるかを確認する。y の最大・最小は頂点か端点のどれかで決まると覚え、変化の割合は (yの差)/(xの差) を定義どおり計算して検算する。
2つのさいころの目の和を求めるとき、「(1,2) と (2,1) は同じ」とまとめて分母を21通りにする。「少なくとも1個は白玉」を余事象を使わずに数え漏らす。
「同様に確からしい」の意味を押さえておらず、樹形図や表を書かずに頭の中で場合をまとめてしまうため。
What to do instead
さいころや硬貨は区別できるものとして表または樹形図にすべて書き、分母は36通りなど全事象の数にする。「少なくとも」が出たら 1−(起こらない確率) を先に検討し、直接数えた場合と一致するか確かめる。
度数分布表から平均を出すとき、階級値×度数の合計を度数で割らず、階級の境界値をそのまま使う。データが偶数個のときの中央値を中央2つの片方で済ませる。標本調査で「標本での割合＝母集団での割合」の比例式を立てられない。
代表値の定義（階級値、中央値の位置、標本調査の考え方）が曖昧なまま、用語のイメージだけで処理しているため。
What to do instead
平均は「階級値×度数の合計÷度数の合計」と手順を決めて書く。中央値は小さい順に並べて位置 (n＋1)/2 を確認し、偶数個なら中央2つの平均をとる。標本調査は「標本での割合＝母集団での割合」を等式にして比例式を解く。