平行四辺形の証明 - どの根拠なら使ってよいか
2年生の図形の授業で、平行四辺形ABCDの対角線の交点をOとし、「AO=CO、BO=DO」を証明する課題が出た。配られた図には AB=5cm、BC=8cm と書かれており、辺ABと辺DC、辺ADと辺BCがそれぞれ平行であることが仮定として与えられている。授業の後半、先生は3人の答案を黒板に貼り、どこまでが証明として認められるかをクラス全体で検討することにした。根拠として使ってよいのは、仮定と、それまでに証明済みの定義・定理だけである。 Xさんの答案：△AOBと△CODにおいて、AB=CD（平行四辺形の対辺）、∠OAB=∠OCD、∠OBA=∠ODC（平行線の錯角）。1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので合同。よってAO=CO、BO=DO。 Yさんの答案：平行四辺形の対角線は中点で交わるから、AO=CO、BO=DO。よってAO=CO、BO=DO。 Zさんの答案：AB∥DC、AD∥BCより2組の対辺がそれぞれ平行なので、△AOB≡△COD。よってAO=CO、BO=DO。 あなたは司会役として、3つの答案のどこが認められ、どこが認められないかを整理して説明することになった。授業の残り時間は10分で、黒板にかけられる図は1つだけである。
1. X・Y・Zの3つの答案をそれぞれ判定し、認められない答案についてはどの部分が問題なのかを具体的に指摘せよ。
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Xは認められる。 AB=CD は平行四辺形の対辺が等しいことからいえる。∠OAB=∠OCD は AB∥DC の錯角、∠OBA=∠ODC も同じく錯角で、しかも辺ABはこの2つの角の間にある。したがって「1辺とその両端の角がそれぞれ等しい」という合同条件が正しく当てはまり、△AOB≡△COD が導ける。合同な図形の対応する辺は等しいので AO=CO、BO=DO。
Yは認められない。 「平行四辺形の対角線は中点で交わる」というのは、いま証明しようとしている事柄そのものである。結論を根拠に使っているので、何も証明したことにならない。
Zは認められない。 「2組の対辺がそれぞれ平行」は平行四辺形の定義であって、三角形の合同条件ではない。合同条件は3辺、2辺とその間の角、1辺とその両端の角の3つであり、「平行だから合同」というつなぎ方は根拠になっていない。
判定の分かれ目は、答案の1行1行が「仮定・定義・既習の定理」で支えられているかどうかである。
2. Yさんの答案が証明として通用しない理由を、証明の順序という観点から説明し、代わりにどの根拠を使えばよいかを述べよ。
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証明は、すでに正しいと認められている事柄から出発して、結論を順に導く組み立てである。だから「まだ証明されていない事柄」を途中で使うと、結論を先取りしたことになり、循環論法になって何も示せない。
Yさんの答案は、これから示すべき「対角線が中点で交わる」をそのまま前提に置いている。もしこの性質がすでに定理として証明済みなら使えるが、今回の課題はその定理自体を導くことなので使えない。
代わりに使うべき根拠は次のとおり。
- 仮定：AB∥DC、AD∥BC
- 平行線の錯角：∠OAB=∠OCD、∠OBA=∠ODC
- 平行四辺形の対辺が等しいこと（この授業で既に証明済み）：AB=CD
- 合同な三角形の対応する辺は等しいこと
流れとしては「平行線の錯角と対辺 → 三角形の合同 → 対応する辺が等しい → AO=CO、BO=DO」という順序になる。どの事実がどの段階で使えるのかを意識して並べ替えることが、証明を組み立てる際の判断になる。
3. AB=5cm、BC=8cm の平行四辺形で、対角線ACの長さとして考えられる範囲を求めよ。また、ACの長さが1つに決まらない理由を、図形の決定条件という観点から説明せよ。
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範囲：3cm < AC < 13cm
対角線ACは、三角形ABCの辺として見ることができる。△ABC は AB=5cm、BC=8cm、AC の3辺をもつ三角形である。
三角形の3辺には「他の2辺の長さの和より短く、差より長い」という関係があるので、 8 − 5 < AC < 8 + 5 すなわち 3 < AC < 13。
等号が除かれるのは、AC = 13 のときA・B・Cが一直線に並んで三角形がつぶれ、平行四辺形にならないからである。AC = 3 の場合も同様。
長さが1つに決まらない理由 平行四辺形は「2組の対辺がそれぞれ平行」という条件だけで決まる図形で、辺の長さの組（5cmと8cm）を指定しても、頂点Bの内角が自由に変えられる。内角が直角に近づけばACは大きくなり、鋭角になれば小さくなる。実際、長方形になるとき AC = √(25+64) = √89 ≈ 9.4cm で、これも上の範囲に収まっている。辺の長さだけでは形は確定せず、角の条件がもう1つ必要だという判断が要点である。