放物線と直線のパネル作り - 変域と上下関係の判断
文化祭の展示で、Aさんたちの班は「放物線と直線」をテーマにしたパネルを作っている。使う関数は y = ax²（a は正の定数）と y = 2x + 3 で、x の変域は −2 ≦ x ≦ 4 と決まった。a の値は、先生が出したヒント「x が1から3まで増加するときの変化の割合が4である」から求める約束になっている。班にはグラフ用紙と定規しかなく、グラフをかく前に計算で見通しを立てる必要がある。作業の途中で、班員から次の3つの意見が出た。 ① a の値は 4 でよい。 ② y = ax² の y の変域は、変域の両端 x = −2 と x = 4 のときの y の値を比べて 4a ≦ y ≦ 16a とすればよい。 ③ 2つのグラフの上下関係は、変域の両端の x での y の値を調べれば判断できる。 パネルにはグラフの概形と、それぞれの判断の根拠を短い文章で書き込む。締め切りは明日で、あなたは3つの意見を検討し、正しい結論と理由をまとめる担当になった。
1. 意見①の正誤を判定し、a の正しい値を、変化の割合の定義に戻って求めよ。
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①は誤り。正しい値は a = 1。
変化の割合は（y の増加量）÷（x の増加量）である。x が1から3まで増えるとき、x の増加量は 3 − 1 = 2。
y = ax² より、x = 1 のとき y = a、x = 3 のとき y = 9a。y の増加量は 9a − a = 8a。
よって変化の割合は 8a ÷ 2 = 4a。これが4に等しいので 4a = 4、すなわち a = 1。
①のように a = 4 とすると変化の割合は 4a = 16 になってしまい、ヒントと合わない。よくある間違いは「x が1から3に増える」のを1だけ増えたと勘違いして 9a − a = 4 と置くことである。x の増加量は2である点を落とさないことが判断の分かれ目になる。以降は y = x² として考える。
2. a = 1 のとき、−2 ≦ x ≦ 4 における y = x² の y の変域を求め、意見②がなぜ誤りなのかを説明せよ。
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正しい y の変域は 0 ≦ y ≦ 16。
y = x² のグラフは原点 (0, 0) を頂点とする下に凸の放物線である。変域 −2 ≦ x ≦ 4 には x = 0 が含まれているので、y は頂点で最小となり、最小値は y = 0。
最大値は、頂点から遠い方の端でとる。x = −2 は頂点から2、x = 4 は頂点から4だけ離れており、x = 4 のとき y = 16 が最大。x = −2 のときは y = 4 にすぎない。
したがって 0 ≦ y ≦ 16。
②が誤りである理由 ②の式 4a ≦ y ≦ 16a は、a = 1 とすると 4 ≦ y ≦ 16 となり、x = 0 のときの y = 0 が抜け落ちる。これは「両端だけを見ればよい」と考えたためで、変域の内側に頂点（最小値または最大値をとる点）が入っているかどうかを確かめていない。変域に頂点が含まれる場合は、両端の値と頂点の値を候補として比べる必要がある。a < 0 の上に凸の場合も同じで、変域の端と頂点の位置関係を必ず確認する。
3. 意見③の正誤を判定し、y = 2x + 3 のグラフが y = x² のグラフより上側にあるような x の範囲を、変域 −2 ≦ x ≦ 4 の中で求めよ。
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③は誤り。上下関係は交点で入れ替わるので、両端だけでは判断できない。
2つのグラフの y の値が等しくなる x を求める。 x² = 2x + 3 x² − 2x − 3 = 0 (x − 3)(x + 1) = 0 x = −1, 3
この2点でグラフは交わり、上下が入れ替わる。各区間で確かめる。
- x = −2 のとき：x² = 4、2x + 3 = −1 で放物線が上
- x = 0 のとき：x² = 0、2x + 3 = 3 で直線が上
- x = 4 のとき：x² = 16、2x + 3 = 11 で放物線が上
よって直線が上側にあるのは −1 < x < 3。
もし③のように両端の x = −2 と x = 4 だけを調べると、どちらも放物線が上なので「いつでも放物線が上」と誤ってしまう。上下関係を判断するときは、交点を求めて区間に分けることが必要である。なお −1 < x < 3 は変域 −2 ≦ x ≦ 4 の中にすっぽり収まっているので、範囲を切り詰める必要はない。