立方体の糸と切断面 - 表面上の最短経路の判断
文化祭の数学展示で、1辺6cmの立方体ABCDEFGHの模型を作ることになった。底面ABCD、上面EFGHで、EはAの真上、FはBの真上、GはCの真上、HはDの真上にある。展示では、頂点Aから頂点Gまで、立方体の表面に沿って赤い糸をぴんと張る。班員からは次の3つの案が出て、意見が分かれている。 案1：辺に沿ってA→B→C→Gとたどるので18cm。 案2：立方体の内部を突っ切る対角線と同じで6√3cm。 案3：展開図で考えると6√5cm。 さらに、模型の一部を切り取って断面を見せる企画もあり、頂点A、C、Fを通る平面で立方体を切ったときの切り口の形と面積を、あらかじめ見当をつけておく必要がある。本番まで1週間で、図をかいて納得いくまで確かめる時間はあまりない。あなたは、3つの案のどれが正しいかを判断し、切り口についても説明する担当になった。
1. 3つの案のうち、表面上をAからGへ向かう糸の長さとして正しいものを選び、展開図を用いて長さを導け。
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正しいのは案3の 6√5cm（約13.4cm）。
立体のままでは最短経路が見えないので、糸が通る面を平らに開いて考える。糸は面ABFEと面BCGFの2面を通るとする。
面ABFEを、A(0, 0)、B(6, 0)、F(6, 6)、E(0, 6) となるように置く。辺BFに面BCGFをつなげて開くと、B(6, 0)、C(12, 0)、G(12, 6)、F(6, 6) となる。
この平面上でAは (0, 0)、Gは (12, 6)。2点を結ぶ線分が最短で、その長さは √(12² + 6²) = √(144 + 36) = √180 = 6√5。
この糸は辺BF上の点 (6, 3)、つまり辺BFの中点を通る。実際に模型の上で確かめると、AからBFの中点までが √(6² + 3²) = 3√5、そこからGまでが 3√5 で、合わせて 6√5 になる。
案1の18cmは表面上の道ではあるが、辺に沿って遠回りしているだけで最短ではない。展開図で線分を引くという一手間をかけるかどうかが判断の分かれ目になる。
2. 案2の6√3cmは正しい長さだが、この問題の答えにはならない。その理由を、表面上の道と立体の内部の道の違いにふれて説明せよ。また、案1との大小関係からわかることを述べよ。
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6√3cm は立方体の内部を通る対角線AGの長さ。 縦・横・高さがそれぞれ6cmなので √(6² + 6² + 6²) = √108 = 6√3 ≈ 10.4cm で、計算自体は正しい。
しかし今回の条件は「立方体の表面に沿って糸を張る」である。内部を突っ切る道は表面上の道ではないので、長さを比べる対象にならない。
大小関係からわかること 6√3 ≈ 10.4 < 6√5 ≈ 13.4 < 18 である。内部の道が最も短いのは当然で、表面に拘束されると道は長くなる。つまり「最短」を論じるときは、何を固定した上での最短なのかをはっきりさせないと、異なる条件の長さを混ぜて比較してしまう。案2は条件を読み違えた答案であり、案1は条件は満たすが最短でない答案、というように、誤りの種類が異なる点も押さえておきたい。
なお、他の開き方（例えば底面ABCDと面BCGFをつなげる）で展開しても、直角三角形の直角をはさむ2辺は12cmと6cmになるので、結果は同じ 6√5cm になる。
3. 立方体を頂点A、C、Fを通る平面で切ったとき、切り口の形と面積を求めよ。判断の根拠も示せ。
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切り口は1辺 6√2cm の正三角形で、面積は 18√3cm²（約31.2cm²）。
まず3辺の長さを求める。
- AC は底面ABCDの正方形の対角線：√(6² + 6²) = 6√2
- AF は面ABFEの正方形の対角線：√(6² + 6²) = 6√2
- CF は面BCGFの正方形の対角線：√(6² + 6²) = 6√2
3辺がすべて等しいので、切り口は正三角形である。
面積は、1辺 a の正三角形の面積が (√3/4)a² であることを使う。 a = 6√2 より a² = 72 なので、 (√3/4) × 72 = 18√3cm²。
切り口が三角形になる理由 平面ACFは、底面ABCDと線分ACで、面ABFEと線分AFで、面BCGFと線分CFで交わる。3つの面との交わりが3本の線分になるので、切り口は三角形になる。頂点B、D、E、H、Gはこの平面上にないので、切り口が四角形や六角形に広がることはない。
切断面の問題では、切り口の辺がどの面の上に乗っているかを1本ずつ確かめることが、形を判断する決め手になる。