数と式：計算・文字式・方程式・平方根
「数と式」は、新潟県公立高校入試の数学で、最初の小問群の計算から、文字式の利用、方程式の解法、平方根まで幅広く問われる領域です。正確で速い計算力を土台に、式の意味を読み取り、条件を式に表す力が試されます。小問の計算を落とさないことが得点差になります。
計算の規則を固める
- 展開は分配法則が基本。(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab、(a±b)²=a²±2ab+b²、(a+b)(a−b)=a²−b²。
- 因数分解は展開の逆。まず共通因数をくくり出し、次に公式を当てはめる。たとえば 2x²−8=2(x²−4)=2(x+2)(x−2)。
- 平方根は √a×√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)。分母は有理化する。√(a²)=|a| であり、√(a+b)≠√a+√b。
- 方程式は等式の性質に従って移項する。連立方程式は加減法か代入法。二次方程式は因数分解、平方完成、解の公式 x=(−b±√(b²−4ac))/(2a) を使い分ける。
- 文章題では、求める数量を x と置き、等しい関係を式にする。解が問題の条件に合うか必ず確認する。
例題で確認
(√6−√2)²+√48/√3 を計算する。 (√6−√2)²=6−2√12+2=8−4√3。√48/√3=√(48/3)=√16=4。よって 8−4√3+4=12−4√3。展開で中央の −2√12 を落とさないこと、√12=2√3 と直すことが要点である。
失点しやすい箇所
- (−3)² と −3² の区別。累乗は符号より先に計算する。
- 因数分解で共通因数をくくり忘れる。最後に展開して検算する。
- 二次方程式で両辺を文字で割り、解を一つ落とす。
- 連立方程式の加減法で、片方の式だけに数を掛ける。
- 平方根の大小比較で、有理化や近似をせずに判断する。