図形：平面図形・空間図形・図形の証明
「図形」は、平面図形の角・合同・相似、円の性質、空間図形の体積・表面積、そして図形の証明が出題される領域です。新潟県の入試では、証明で「仮定」と「結論」を区別し、根拠となる性質を明確に書けるかが問われます。図に印をつけながら、等しい辺・角を整理して進めます。
平面図形の核心
- 平行線では同位角・錯角が等しい。三角形の内角の和は180°、外角は隣り合わない2内角の和。
- 合同条件は「3辺」「2辺とその間の角」「1辺と両端の角」。相似条件は「2角」「2辺の比とその間の角」「3辺の比」。
- 円では、同じ弧に対する円周角は等しい。直径に対する円周角は90°。円に内接する四角形の対角の和は180°。
- 三平方の定理 a²+b²=c² は、直角三角形の斜辺cに使う。
空間図形の核心
柱の体積は底面積×高さ、錐の体積は底面積×高さ×1/3。球の体積は4/3πr³、表面積は4πr²。表面積は「展開図の面積」と捉えると、底面の抜けに気づきやすい。
例題で確認
三角形ABCで、DE∥BC、AD:DB=2:3、DE=6 cm のとき BC を求める。AD:AB=2:(2+3)=2:5。DE∥BC より△ADE∽△ABC で、相似比は2:5。よって DE:BC=2:5、6:BC=2:5、BC=15 cm。比をAD:ABに直すことが要点。
失点しやすい箇所
- 証明で、仮定と結論を逆に書く。結論を先に書かない。
- 合同条件・相似条件の「対応する辺・角」をずらす。
- 相似比と面積比（2乗）、体積比（3乗）を混同する。
- 円周角で、同じ弧に対応しない角を比べる。
- 立体の表面積で、底面や側面の一枚を数え忘れる。