関数：一次関数・関数 y=ax²・グラフ
「関数」は、一次関数と関数 y=ax² が中心で、グラフの読み取り、変化の割合、交点、変域、動点、図形との融合まで問われます。新潟県の入試では、式・表・グラフを相互に変換し、条件を式にして解く力が試されます。まず「何がxで何がyか」を明確にすることが出発点です。
一次関数
y=ax+b のグラフは傾きa、切片bの直線。変化の割合は (yの増加量)/(xの増加量) で、一次関数では常にaに等しい。2点が与えられたら、傾きを求めてから切片を代入で求める。表から式を作るときも増加量の比を取る。2直線が平行なら傾きが等しい。交点は2式を連立して求める。
関数 y=ax²
y=ax² のグラフは原点を頂点とする放物線。xがpからqまで増加するときの変化の割合は a(p+q)。a>0 なら下に凸で、x=0 のとき最小値0。変域が負から正にまたがる場合、最小値は端点ではなく0になる。a<0 なら最大値が0である。
例題で確認
y=x² と y=3x−2 の交点を求める。x²=3x−2 より x²−3x+2=0、(x−1)(x−2)=0、x=1,2。それぞれ代入して (1,1)、(2,4)。連立してできた二次方程式を因数分解し、xの値を両方とも y に代入することが要点。
失点しやすい箇所
- 変化の割合の分母と分子を逆にする。
- y=ax² の変域で、x=0 をまたぐのに端点の値だけで最小・最大を判断する。
- 交点のx座標だけを答えて、y座標を求め忘れる。
- 一次関数の切片と傾きを混同する。
- 動点の問題で、xの変域を場合分けせずに一つの式で処理する。