平方根を含む式の値 ― 近似値で「10」と書いてよいか
2学期の期末テストの返却後、数学の授業で「x = √3 + √2 のとき、x² + 1/x² の値を求めなさい」という問題の3人の答案を検討している。Aさんは電卓で √3 = 1.732、√2 = 1.414 として x = 3.146 とし、x² = 9.897、1/x² = 0.101 を計算して「およそ10になるので答えは10」と書いた。Bさんは x² = 5 + 2√6 を計算し、さらに 1/x² = 1/(5 + 2√6) = 5 − 2√6 として和を10とした。Cさんは 1/x = √3 − √2 を導き、x + 1/x = 2√3 を経由して10を得た。教師は「Aさんの答案は数値としては正しいが、答案としては減点した」と説明した。Aさんは小数第4位を四捨五入した値だけを答案に書き、途中式を残していない。クラスからは「大体合っているのになぜ」「Bさんの 1/x² の変形はどこから出たのか」「x + 1/x を思いつく必然性がわからない」という声が出ている。答案用紙の指定欄は「途中の式と根拠を書きなさい」であり、電卓の使用は認められていない。
1. Bさんの答案の各変形を検算し、1/x² = 5 − 2√6 が正しいことを示せ。また、そこで使われている「有理化」の考え方を、使った公式とともに説明せよ。
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検算
- x² = (√3 + √2)² = 3 + 2√6 + 2 = 5 + 2√6 （(a+b)² = a² + 2ab + b²）
- 1/x² = 1/(5 + 2√6)。分母と分子に 5 − 2√6 を掛ける。 (5 + 2√6)(5 − 2√6) = 25 − 24 = 1 （(a+b)(a−b) = a² − b²） よって 1/(5 + 2√6) = 5 − 2√6
- 和 = (5 + 2√6) + (5 − 2√6) = 10
有理化の考え方
分母が √ を含むままだと値の見当がつかず、足し引きの計算もできない。そこで「和と差の積が平方の差になる」ことを利用し、分母を整数にする。ここでは 5 + 2√6 と 5 − 2√6 がペアで、積が 1 になるため、逆数がそのまま共役な式になる。1/x を有理化すると √3 − √2 になるのも同じ仕組みである。
2. Aさんの「およそ10になるので答えは10」という答案が減点される理由を、誤差の観点から説明せよ。また、近似値から結論を出すために、Aさんは何を確認すべきだったか。
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減点の理由
- √3、√2 を小数第4位で四捨五入した時点で誤差が入り、x = 3.146 にも丸めの誤差が加わる。
- x² と 1/x² はどちらも約10の桁なので、一方の誤差が他方で打ち消される保証はない。実際 x² ≈ 9.897、1/x² ≈ 0.101 で和は 9.998 前後になり、「10 に近い」ことしか言えない。
- 「およそ」と「等しい」を区別していない点、途中式が残っていない点も、根拠を示す答案としては不足している。
確認すべきこと
近似で断定するなら、10 が結論の範囲に確実に入ることを示す必要がある。方法は2つ。
- 下限と上限を両方計算する（√3 を 1.732 と 1.733 で挟むなど）して、値が 10 を含む区間に収まることを示す。
- 式変形で厳密に 10 になることを示す（本問は電卓不可・途中式採点なので、こちらが正道）。
近似値は見通しを立てる道具であり、証明の代わりにはならない。
3. Cさんの解法を、1/x = √3 − √2 の導出から x² + 1/x² = 10 までの式を省略せずに書け。また、この方法がBさんの方法より有利な点を1つ挙げよ。
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導出
- 1/x = 1/(√3 + √2) = (√3 − √2)/{(√3 + √2)(√3 − √2)} = (√3 − √2)/(3 − 2) = √3 − √2
- x + 1/x = (√3 + √2) + (√3 − √2) = 2√3
- 両辺を2乗する。(x + 1/x)² = x² + 2·x·(1/x) + 1/x² = x² + 2 + 1/x²
- 左辺は (2√3)² = 12 なので、x² + 2 + 1/x² = 12、すなわち x² + 1/x² = 10
有利な点
x² と 1/x² を別々に有理化する必要がなく、対称式（x + 1/x のように x と 1/x を入れ替えても変わらない式）の関係にまとめて1本道で計算できる。途中で扱う項が少ないぶん、符号や係数の誤りが入りにくい。