Saga Public High School Entrance Examination - Mathematics flashcards

32 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

同符号・異符号の積

正の数どうし、負の数どうしの積は正、符号が異なる2数の積は負になる。除法や累乗でも同じ符号の規則が成り立ち、減法は引く数の符号を変えて加法に直して計算する。

和と差の積の公式

(a+b)(a−b)=a²−b² という展開公式。同じ2数を和と差で掛けると2乗の差になる。因数分解では a²−b²=(a+b)(a−b) として逆に使い、係数がついても同じ形で利用できる。

分母の有理化

分母に平方根があるとき、分母と分子に同じ平方根を掛けて分母を整数にする変形。例：1/√2=√2/2。分母が √a+√b のときは √a−√b を掛けて有理化する。

√(a²) の値

a の2乗の平方根は √(a²)=|a| で、a が正なら a、負なら −a になる。a=0 なら0。文字を含む平方根では符号に注意して絶対値をはずす。

因数分解の基本手順

最初に共通因数をくくり出し、次に平方差や完全平方の公式を確認する。最後に x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) の形を探す。複数の文字があるときは次数が最も低い文字で整理する。

二次方程式の解の公式

ax²+bx+c=0（a≠0）の解は x=(−b±√(b²−4ac))/(2a)。係数をそのまま代入して求められる。b が偶数のときは b=2b' とおいた簡略形も使える。

判別式

二次方程式 ax²+bx+c=0 の判別式 D=b²−4ac。D>0 なら異なる2つの実数解、D=0 なら重解、D<0 なら実数解をもたない。

連立方程式の加減法

2つの式の係数をそろえ、辺どうしを加えるか引くかして1つの文字を消去する解法。消去後に残った一次方程式を解き、その値を他方の式に代入してもう1つの文字を求める。

解と係数の関係

ax²+bx+c=0 の2解を α、β とすると α+β=−b/a、αβ=c/a。解を求めずに和と積が分かる。実数解が存在するとき（D≥0）に使える関係である。

二次方程式の利用

文章題では数量を x で表して方程式を立て、解を求めた後に長さが正、人数が整数などの条件を満たすか確かめる。条件に合わない解は答えから除く。

変化の割合

y の増加量を x の増加量で割った値。一次関数 y=ax+b では常に a で一定、y=ax² では区間によって変わり、x が p から q までなら a(p+q) になる。

反比例の式

y=a/x（a≠0）で表され、x と y の積は常に a で一定。グラフは原点を除く双曲線で、x=0 は定義域に含まれず、x の値が0に近づくと y は急に大きくなる。

一次関数の傾きと切片

y=ax+b の a は傾きで変化の割合、b は y 切片。傾きが等しい2直線は平行になり、切片が等しければ一致する。傾きの積が−1なら2直線は垂直に交わる。

y=ax² の変域

x の変域が0をまたぐとき、a>0 なら y の最小値は0で最大値は端点の大きい方。a<0 なら最大値が0になる。端点の値と頂点の値を比べて決める。

放物線と直線の交点

y=ax² と y=mx+n を連立すると ax²−mx−n=0 になる。この二次方程式の実数解が交点の x 座標で、異なる解の個数が交点の個数になる。

円周角の定理

同じ弧に対する円周角はすべて等しく、その角は中心角の半分。直径に対する円周角は90°になる。円周角の大きさは、それが対する弧の長さに比例する。

相似比と面積比

相似な図形で相似比が m:n のとき、面積比は m²:n²、体積比は m³:n³。長さの比を2乗・3乗して考え、対応する部分を同じ順で比べる。

三平方の定理

直角三角形で斜辺を c、他の2辺を a、b とすると a²+b²=c²。直角をはさむ2辺の2乗の和が斜辺の2乗に等しい。辺の長さの計算や座標平面上の距離に使う。

接弦定理

円の接線とその接点を通る弦がつくる角は、その角の内部にある弧に対する円周角に等しい。この角を接弦角といい、相似や角度の証明で使う。

円錐の体積

円錐の体積は底面積×高さ÷3、すなわち (1/3)πr²h。角錐も底面積×高さ÷3で、同じ底面積と高さをもつ柱の体積の3分の1になる。

余事象の確率

事象Aが起こらない事象を余事象といい、P(not A)=1−P(A)。「少なくとも1つ」の問題では余事象を考えると計算が簡単になることが多い。確率は0以上1以下である。

順列と組合せ

順列 nPr は順序を区別して並べる場合の数、組合せ nCr は選ぶだけで順序を区別しない場合の数。nCr=nPr/r! の関係があり、順序が問題なら順列を使う。

中央値

データを小さい順に並べたときの中央の値。個数が奇数なら中央の1つ、偶数なら中央の2つの平均をとる。外れ値の影響を受けにくい代表値である。

四分位範囲

第3四分位数 Q3 から第1四分位数 Q1 を引いた値で、Q3−Q1。データの中央50%が含まれる範囲の広さを表し、箱ひげ図では箱の長さになる。

標本調査

母集団から無作為に抽出した標本を調べて母集団の性質を推定する調査。全数調査が難しいときに使い、標本の大きさが大きいほど推定の誤差は小さくなりやすい。

証明の仮定と結論

証明では問題文で与えられた条件が仮定、示すべきことが結論。仮定から定義や定理を根拠にして筋道を立て、最後に結論を導く。各段階に理由を添える。

逆と反例

命題「AならばB」の逆は「BならばA」で、常に真とは限らない。反例が1つでも見つかれば元の命題は偽といえる。逆が偽でも元の命題が真のこともある。

垂直二等分線の作図

線分の両端を中心に等しい半径の円をかき、その2つの交点を結ぶ。この直線は線分の両端から等距離な点全体を表す。半径は線分の半分より大きくする。

合同の記号の順序

△ABC≡△DEF と書くとき、対応する頂点を同じ順に並べる。辺ABとDE、角Aと角Dが対応するので、証明では対応の順序をそろえて書く。

座標平面上の2点間の距離

2点 (x1,y1)、(x2,y2) の距離は √((x2−x1)²+(y2−y1)²)。x 座標の差と y 座標の差を直角をはさむ2辺とする三平方の定理で求められる。

等積変形

面積を変えずに図形の形を変えること。底辺が共通で高さが等しい三角形は面積が等しく、平行線を利用して頂点を移動させる。面積比を保ったまま考えるのに使う。

動点と関数

点が辺上を動く問題では、時間 t 秒後の長さを t の式で表し、面積などを t の関数にする。点が頂点に着く時刻で変域が変わることに注意する。