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Saga Public High School Entrance Examination - Mathematics study materials
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Saga Public High School Entrance Examination - Mathematics practice questions

One question at a time. Build your Saga Public High School Entrance Examination - Mathematics understanding.

First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

Continue in the practice tool above to load more questions, 50 at a time.

Question 1数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

(−2)² − 3 × (−4) を計算しなさい。

  1. −16
  2. 8
  3. 16 Correct answer.
  4. −8

Explanation

累乗はかけ算より先に計算するので、(−2)² = 4 となる。次に 3 × (−4) = −12 を求め、4 − (−12) = 4 + 12 = 16 となる。ひき算が負の数のたし算になる点が要点である。

Question 2数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

a = −2 のとき、3a² − 5a の値として正しいものを選びなさい。

  1. −22
  2. −2
  3. 2
  4. 22 Correct answer.

Explanation

a = −2 を代入すると a² = 4 なので 3a² = 12、−5a = −5 × (−2) = 10 となる。したがって 12 + 10 = 22 である。a が負のとき −5a が正の数になる点に注意する。

Question 3数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

(x − 3)(x + 5) を展開したものとして正しいものを選びなさい。

  1. x² − 2x − 15
  2. x² + 2x − 15 Correct answer.
  3. x² + 2x + 15
  4. x² + 8x − 15

Explanation

x の項は −3x + 5x = 2x、定数項は (−3) × 5 = −15 となる。よって x² + 2x − 15 である。定数項が負になることを展開した後に必ず確かめる。

Question 4数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

2x² + 5x − 3 を因数分解したものとして正しいものを選びなさい。

  1. (2x − 3)(x + 1)
  2. (2x + 3)(x − 1)
  3. (2x + 1)(x − 3)
  4. (2x − 1)(x + 3) Correct answer.

Explanation

かけて −3、たして x の係数 5 になる2数の組合せを考えると、−1 と +3 が当てはまる。展開して確かめると 2x² + 6x − x − 3 = 2x² + 5x − 3 となる。

Question 5数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

√48 − √27 + √12 を計算しなさい。

  1. −√3
  2. √33
  3. 9√3
  4. 3√3 Correct answer.

Explanation

√48 = 4√3、√27 = 3√3、√12 = 2√3 とそれぞれ根号の中を簡単にする。係数をまとめると 4 − 3 + 2 = 3 なので、答えは 3√3 である。

Question 6数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

等式 5x − 2y = 8 を y について解いたものとして正しいものを選びなさい。

  1. y = (8 − 5x)/2
  2. y = 5x − 4
  3. y = (5x + 8)/2
  4. y = (5x − 8)/2 Correct answer.

Explanation

5x を右辺に移項して −2y = 8 − 5x とし、両辺を −2 で割る。y = (8 − 5x)/(−2) = (5x − 8)/2 となる。負の数で割るとき、右辺の各項の符号が入れかわる点が要点である。

Question 7数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

√50 ÷ √2 − √12 × √3 を計算しなさい。

  1. −1 Correct answer.
  2. 11
  3. 1
  4. −11

Explanation

√50 ÷ √2 = √(50/2) = √25 = 5、√12 × √3 = √36 = 6 となる。したがって 5 − 6 = −1 である。根号どうしのかけ算・わり算は中身をまとめて計算できる。

Question 8数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

101 × 99 を、式の展開を利用して計算した結果として正しいものを選びなさい。

  1. 10001
  2. 9998
  3. 9999 Correct answer.
  4. 9991

Explanation

101 = 100 + 1、99 = 100 − 1 とみると、(100 + 1)(100 − 1) = 100² − 1² = 10000 − 1 = 9999 となる。和と差の積の公式 (a + b)(a − b) = a² − b² を利用している。

Question 9数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

5 − √7 の整数部分を a、小数部分を b とするとき、a と b の組合せとして正しいものを選びなさい。

  1. a = 3, b = 2 − √7
  2. a = 2, b = 5 − √7
  3. a = 2, b = 3 − √7 Correct answer.
  4. a = 2, b = √7 − 2

Explanation

2 < √7 < 3 より −3 < −√7 < −2 なので、2 < 5 − √7 < 3 となる。したがって整数部分は a = 2 であり、小数部分は (5 − √7) − 2 = 3 − √7 である。

Question 10数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

x + y = 4、xy = 2 のとき、x² + y² の値として正しいものを選びなさい。

  1. 16
  2. 14
  3. 12 Correct answer.
  4. 8

Explanation

x² + y² = (x + y)² − 2xy と変形できる。値を代入すると 4² − 2 × 2 = 16 − 4 = 12 となる。対称式は和と積だけで表せる形に直すのがポイントである。

Question 11数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

−5² + (−3) × (−2) を計算しなさい。

  1. 19
  2. 31
  3. −31
  4. −19 Correct answer.

Explanation

累乗と乗除は加減より先に計算する。−5² は 5 の二乗に負号をつけた −25 であり、(−5)² = 25 とは異なる。乗法の部分は (−3) × (−2) = +6 なので、−25 + 6 = −19 となる。

Question 12数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

4x − 3y − 7x + 5y を計算しなさい。

  1. −11x + 2y
  2. −3x + 2y Correct answer.
  3. −3x − 2y
  4. 3x + 2y

Explanation

文字の部分が同じ項どうしをまとめる。x の項は 4x − 7x = −3x、y の項は −3y + 5y = 2y である。したがって答えは −3x + 2y になる。係数の符号を項と一緒に動かすことが大切である。

Question 13数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

√72 を、根号の中をできるだけ簡単な形に直しなさい。

  1. 2√12
  2. 4√5
  3. 6√2 Correct answer.
  4. 3√6

Explanation

72 を平方数と残りの積に分解すると 72 = 36 × 2 である。√72 = √36 × √2 = 6√2 となる。根号の外に出せるのは、素因数分解したときに 2 個そろった因数である。

Question 14数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

(2x − 3)² を展開しなさい。

  1. 4x² + 12x + 9
  2. 4x² − 9
  3. 4x² − 12x + 9 Correct answer.
  4. 4x² − 6x + 9

Explanation

公式 (a − b)² = a² − 2ab + b² に a = 2x、b = 3 をあてはめる。a² = 4x²、−2ab = −2 × 2x × 3 = −12x、b² = 9 である。よって 4x² − 12x + 9 となる。中間の項を落とさないことが要点である。

Question 15数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

x² − 9y² を因数分解しなさい。

  1. (x + 3y)(x − 3y) Correct answer.
  2. (x − 3y)²
  3. (x + 3y)²
  4. (x + 9y)(x − 9y)

Explanation

9y² は (3y)² と表せるので、a² − b² = (a + b)(a − b) の公式で a = x、b = 3y とおける。したがって x² − 9y² = (x + 3y)(x − 3y) である。係数の 9 だけでなく、y も二乗されている点に注意する。

Question 16数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

8/√2 − √18 を計算しなさい。

  1. √2 Correct answer.
  2. 2√2
  3. −√2
  4. 7√2

Explanation

8/√2 は分母と分子に √2 をかけて 8√2/2 = 4√2 と有理化できる。√18 は 18 = 9 × 2 より 3√2 である。したがって 4√2 − 3√2 = √2 となる。

Question 17数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

√(24n) が整数となるような自然数 n のうち、最も小さいものを選びなさい。

  1. 6 Correct answer.
  2. 12
  3. 3
  4. 2

Explanation

24 を素因数分解すると 2³ × 3 である。√(24n) が整数になるには、根号の中の素因数の指数がすべて偶数でなければならない。2 が 1 個、3 が 1 個足りないので n = 2 × 3 = 6 のとき 24n = 144 = 12² となる。n = 2 や 3 では平方数にならない。

Question 18数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

(x + 3)² − (x + 2)(x + 4) を計算しなさい。

  1. 1 Correct answer.
  2. 12x + 17
  3. 12x + 1
  4. −1

Explanation

(x + 3)² = x² + 6x + 9、(x + 2)(x + 4) = x² + 6x + 8 である。両者の差をとると x² と 6x がそれぞれ打ち消し合い、9 − 8 = 1 だけが残る。展開してから項を整理する手順が要点である。

Question 19数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

x = 3 + √5、y = 3 − √5 のとき、x²y + xy² の値を求めなさい。

  1. 36
  2. 24 Correct answer.
  3. 6
  4. 16

Explanation

x²y + xy² は共通因数 xy でくくれて xy(x + y) と変形できる。xy = (3 + √5)(3 − √5) = 9 − 5 = 4、x + y = 6 なので、4 × 6 = 24 である。まず式を変形してから代入すると計算が簡単になる。

Question 20数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

x² − 4y² + 4y − 1 を因数分解しなさい。

  1. (x − 2y + 1)²
  2. (x + 2y)(x − 2y) − 1
  3. (x + 2y − 1)(x − 2y − 1)
  4. (x + 2y − 1)(x − 2y + 1) Correct answer.

Explanation

後半の −4y² + 4y − 1 は −(4y² − 4y + 1) = −(2y − 1)² とまとめられる。すると与式は x² − (2y − 1)² となり、a² − b² の公式で a = x、b = 2y − 1 とおける。よって (x + 2y − 1)(x − 2y + 1) と因数分解できる。

Question 21数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

−24 ÷ (−6) − (−2)³ を計算しなさい。

  1. −4
  2. 12 Correct answer.
  3. 4
  4. −12

Explanation

累乗は除法や減法より先に計算します。(−2)³ = −8 なので、まず −24 ÷ (−6) = 4 を求め、次に 4 − (−8) = 4 + 8 = 12 となります。負の数を引くときは符号が変わることを忘れないようにします。

Question 22数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

3(2x − y) − 2(x − 3y) を計算しなさい。

  1. 4x − 9y
  2. 4x + 3y Correct answer.
  3. 8x + 3y
  4. 6x + 3y

Explanation

分配法則を使ってそれぞれの括弧をはずします。3(2x − y) = 6x − 3y、−2(x − 3y) = −2x + 6y となるので、x の項は 6x − 2x = 4x、y の項は −3y + 6y = 3y です。文字の部分が同じ項だけをまとめて 4x + 3y になります。

Question 23数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

√18 × √2 を計算しなさい。

  1. 3√6
  2. 6 Correct answer.
  3. 6√2
  4. 36

Explanation

平方根の積は √a × √b = √(ab) としてまとめられます。√18 × √2 = √36 となり、36 は 6 の平方なので根号がはずれて 6 になります。√18 を 3√2 に直してから 3√2 × √2 = 3 × 2 = 6 と考えても同じ結果です。

Question 24数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

(2x + y)(3x − 4y) を展開しなさい。

  1. 6x² − 5xy + 4y²
  2. 6x² − 11xy − 4y²
  3. 6x² − 5xy − 4y² Correct answer.
  4. 6x² + 5xy − 4y²

Explanation

展開では各項をすべて掛け合わせてから同類項をまとめます。(2x)(3x) = 6x²、(2x)(−4y) = −8xy、y(3x) = 3xy、y(−4y) = −4y² です。xy の項は −8xy + 3xy = −5xy となるので、6x² − 5xy − 4y² になります。

Question 25数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

x² + 7x − 18 を因数分解しなさい。

  1. (x − 9)(x + 2)
  2. (x + 6)(x − 3)
  3. (x + 9)(x − 2) Correct answer.
  4. (x − 6)(x + 3)

Explanation

積が −18、和が 7 になる2数は 9 と −2 です。したがって x² + 7x − 18 = (x + 9)(x − 2) と因数分解できます。定数項が負のときは、2数の符号が異なることに着目して組み合わせを探します。

Question 26数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

6 / (√5 − √2) の分母を有理化しなさい。

  1. 2√5 + 2√2 Correct answer.
  2. 2√5 − 2√2
  3. √5 + √2
  4. 6√5 + 6√2

Explanation

分母の √5 − √2 に同じ形の符号違いである √5 + √2 を掛けて有理化します。分母は (√5)² − (√2)² = 5 − 2 = 3、分子は 6(√5 + √2) です。よって 6(√5 + √2) / 3 = 2√5 + 2√2 になります。

Question 27数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

S = (a + b)h / 2 を b について解きなさい。

  1. b = S/(2h) − a
  2. b = 2S/h + a
  3. b = (2S − a)/h
  4. b = 2S/h − a Correct answer.

Explanation

両辺に2を掛けて 2S = (a + b)h とし、両辺を h で割って 2S/h = a + b とします。最後に a を移項すると b = 2S/h − a です。h で割る操作は右辺全体に及ぶことを意識して変形します。

Question 28数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

(x + 4)(x − 4) − (x − 2)² を計算しなさい。

  1. 4x + 20
  2. −4x − 20
  3. 4x − 20 Correct answer.
  4. 4x − 12

Explanation

(x + 4)(x − 4) = x² − 16、(x − 2)² = x² − 4x + 4 です。これを引くと x² − 16 − x² + 4x − 4 = 4x − 20 になります。x² の項は打ち消し合い、引くときは括弧全体の符号が変わる点が重要です。

Question 29数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

x = √3 + 1 のとき、x² − 2x − 2 の値として正しいものを選びなさい。

  1. 4
  2. 0 Correct answer.
  3. 2
  4. 2√3

Explanation

(x − 1)² = x² − 2x + 1 を利用すると計算が簡単です。x − 1 = √3 より (x − 1)² = 3 なので、x² − 2x = 3 − 1 = 2 です。したがって x² − 2x − 2 = 2 − 2 = 0 になります。

Question 30数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

(x + y)² − 6(x + y) + 9 を因数分解しなさい。

  1. (x + y − 3)(x + y + 3)
  2. (x + y + 3)²
  3. (x − y − 3)²
  4. (x + y − 3)² Correct answer.

Explanation

x + y を1つの文字 M とおくと M² − 6M + 9 となり、これは (M − 3)² と因数分解できます。M を x + y に戻すと (x + y − 3)² です。共通のまとまりを1文字とみなしてから公式を当てはめるのがポイントです。

Question 31数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

−2³ ÷ 4 + (−5) を計算しなさい。

  1. −3
  2. 7
  3. −7 Correct answer.
  4. 3

Explanation

累乗は四則計算より先に計算するので、−2³ = −8 となる。次に −8 ÷ 4 = −2 を求め、最後に −2 + (−5) = −7 とする。符号の処理に注意し、除法を先に済ませるのがポイントである。

Question 32数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

x = −2 のとき、3x² − 5x + 1 の値を求めなさい。

  1. 23 Correct answer.
  2. 3
  3. 22
  4. 47

Explanation

文字式の値は、x に −2 を代入して計算する。3x² = 3×(−2)² = 12、−5x = −5×(−2) = 10 なので、12 + 10 + 1 = 23 となる。累乗では −2 をかっこごと2乗することに注意する。

Question 33数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

(−√7)² + √25 を計算しなさい。

  1. 7
  2. 12 Correct answer.
  3. 14
  4. 2

Explanation

(−√7)² は −√7 を2乗した値なので 7 になる。√25 は 5 であるから、7 + 5 = 12 と計算する。根号の2乗と平方根の値をそれぞれ正しく求めることが大切である。

Question 34数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

(3x + 2y)(3x − 2y) を展開しなさい。

  1. 9x² + 4y²
  2. 9x² − 4y² Correct answer.
  3. 9x² + 12xy + 4y²
  4. 9x² − 12xy − 4y²

Explanation

和と差の積では、(a + b)(a − b) = a² − b² が利用できる。ここでは a = 3x、b = 2y なので、(3x)² − (2y)² = 9x² − 4y² となる。中間項の 12xy は打ち消し合って残らない。

Question 35数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

6x² + 7x − 3 を因数分解しなさい。

  1. (3x + 1)(2x − 3)
  2. (2x − 1)(3x + 3)
  3. (6x − 1)(x + 3)
  4. (3x − 1)(2x + 3) Correct answer.

Explanation

積が 6x² になる組合せとして 3x と 2x を考え、定数項 −3 の積が −3 になる組合せをたすき掛けで探す。(3x − 1)(2x + 3) を展開すると 6x² + 9x − 2x − 3 = 6x² + 7x − 3 となり、元の式と一致する。

Question 36数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

√27 + √12 − √3 を計算しなさい。

  1. 5√3
  2. 6√3
  3. 4√3 Correct answer.
  4. 3√3

Explanation

√27 = 3√3、√12 = 2√3 とそれぞれ根号の中を簡単にする。すると 3√3 + 2√3 − √3 となり、√3 を共通因数としてまとめると (3 + 2 − 1)√3 = 4√3 となる。

Question 37数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

1個 a 円のりんご3個と、1個 b 円のみかん5個を買い、1000円札で払ったときのおつりを、文字式で表しなさい。

  1. 1000 − 5a − 3b
  2. 3a + 5b − 1000
  3. 1000 + 3a + 5b
  4. 1000 − 3a − 5b Correct answer.

Explanation

りんご3個の代金は 3a 円、みかん5個の代金は 5b 円なので、合計は 3a + 5b 円である。1000円札で払ったときのおつりは、1000 円から代金を引いた 1000 − 3a − 5b 円となる。

Question 38数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

等式 5x − 2y = 8 を y について解きなさい。

  1. y = (5x − 8)/2 Correct answer.
  2. y = (5x + 8)/2
  3. y = (8 − 5x)/2
  4. y = 5x − 4

Explanation

y を含む項を一方の辺に集めると、−2y = 8 − 5x となる。両辺に −1 を掛けて 2y = 5x − 8 とし、最後に両辺を 2 で割ると y = (5x − 8)/2 になる。

Question 39数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

x = √2 + 1 のとき、x³ − 3x² + x + 5 の値を求めなさい。

  1. 2
  2. 0
  3. 4 + 2√2
  4. 4 Correct answer.

Explanation

x = √2 + 1 のとき、x² = 3 + 2√2、x³ = 7 + 5√2 と順に計算できる。これらを代入すると、√2 の項が 5√2 − 6√2 + √2 = 0 となり、定数項だけが残る。計算結果は 7 − 9 + 1 + 5 = 4 である。

Question 40数と式（正負の数、文字式、式の展開と因数分解、平方根）

x² + 3xy + 2y² − 5x − 7y + 6 を因数分解しなさい。

  1. (x − y + 2)(x − 2y + 3)
  2. (x + y + 2)(x + 2y + 3)
  3. (x + y − 2)(x + 2y − 3) Correct answer.
  4. (x + y − 3)(x + 2y − 2)

Explanation

x について整理すると x² + (3y − 5)x + (2y² − 7y + 6) となる。定数部分は (y − 2)(2y − 3) と因数分解でき、たすき掛けにより (x + y − 2)(x + 2y − 3) を得る。展開して元の式に戻ることを確認する。

Question 41方程式（一次方程式、連立方程式、二次方程式とその利用）

一次方程式 5x - 7 = 3x + 5 を解きなさい。

  1. x = 3
  2. x = 1
  3. x = 6 Correct answer.
  4. x = -6

Explanation

x の項を左辺に、定数項を右辺に移項すると 5x - 3x = 5 + 7 となり、2x = 12 です。両辺を x の係数 2 で割ると x = 6 になります。もとの式に代入すると 5×6 - 7 = 23、3×6 + 5 = 23 で両辺が一致し、答えが確かめられます。

Question 42方程式（一次方程式、連立方程式、二次方程式とその利用）

一次方程式 2(x - 3) = x + 4 を解きなさい。

  1. x = 7
  2. x = 2
  3. x = 10 Correct answer.
  4. x = -2

Explanation

かっこのある方程式は、まず分配法則でかっこをはずします。2x - 6 = x + 4 となり、x を左辺、定数を右辺に移項すると 2x - x = 4 + 6、すなわち x = 10 です。x = 10 を代入すると左辺は 2×7 = 14、右辺も 14 となり確かめられます。

Question 43方程式（一次方程式、連立方程式、二次方程式とその利用）

連立方程式 x + y = 7、2x - y = 5 の解を求めなさい。

  1. (x, y) = (6, 1)
  2. (x, y) = (3, 4)
  3. (x, y) = (4, 3) Correct answer.
  4. (x, y) = (2, 5)

Explanation

2つの式を辺々加えると y が消えて 3x = 12、すなわち x = 4 です。これを x + y = 7 に代入すると y = 3 になります。(4, 3) は 2x - y = 8 - 3 = 5 も満たすので、連立方程式の解として正しい組です。

Question 44方程式（一次方程式、連立方程式、二次方程式とその利用）

二次方程式 (x - 3)² = 16 を解きなさい。

  1. x = 7, x = 1
  2. x = 7, x = -1 Correct answer.
  3. x = 19, x = -13
  4. x = 4, x = -4

Explanation

2乗して 16 になる数は 4 と -4 なので、x - 3 = ±4 と表せます。x - 3 = 4 から x = 7、x - 3 = -4 から x = -1 です。どちらももとの式に代入すると (4)² = 16、(-4)² = 16 となり、確かに成り立ちます。

Question 45方程式（一次方程式、連立方程式、二次方程式とその利用）

二次方程式 x² - 4x - 1 = 0 を解きなさい。

  1. x = 1 ± √5
  2. x = 2 ± √3
  3. x = 2 ± √5 Correct answer.
  4. x = -2 ± √5

Explanation

解の公式 x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a に a = 1、b = -4、c = -1 を当てはめると、x = (4 ± √(16 + 4)) / 2 = (4 ± √20) / 2 です。√20 = 2√5 なので、x = (4 ± 2√5) / 2 = 2 ± √5 になります。

Question 46方程式（一次方程式、連立方程式、二次方程式とその利用）

1枚40円の切手と1枚80円の切手を合わせて20枚買ったところ、代金は1160円でした。40円の切手を何枚買ったか求めなさい。

  1. 9枚
  2. 12枚
  3. 11枚 Correct answer.
  4. 13枚

Explanation

40円切手を x 枚、80円切手を y 枚とすると、x + y = 20 と 40x + 80y = 1160 の連立方程式になります。y = 20 - x を代入して 40x + 80(20 - x) = 1160 を整理すると -40x = -440、x = 11 です。40×11 + 80×9 = 440 + 720 = 1160 となり、代金も一致します。

Question 47方程式（一次方程式、連立方程式、二次方程式とその利用）

連続する2つの正の整数があり、それぞれの2乗の和は85です。この2つの整数のうち小さい方を求めなさい。

  1. 5
  2. 6 Correct answer.
  3. 9
  4. 7

Explanation

小さい方の整数を n とすると、大きい方は n + 1 なので n² + (n + 1)² = 85 と表せます。展開して整理すると 2n² + 2n - 84 = 0、両辺を2で割って n² + n - 42 = 0、因数分解すると (n + 7)(n - 6) = 0 です。n は正の整数なので n = 6 で、6² + 7² = 36 + 49 = 85 となり条件を満たします。

Question 48方程式（一次方程式、連立方程式、二次方程式とその利用）

二次方程式 x² - 6x + k = 0 が重解をもつとき、定数 k の値を求めなさい。

  1. k = 9 Correct answer.
  2. k = 6
  3. k = 12
  4. k = 3

Explanation

二次方程式 ax² + bx + c = 0 が重解をもつのは、判別式 D = b² - 4ac が 0 になるときです。ここでは D = (-6)² - 4×1×k = 36 - 4k なので、36 - 4k = 0 より k = 9 です。このとき式は x² - 6x + 9 = (x - 3)² となり、確かに x = 3 の重解をもちます。

Question 49方程式（一次方程式、連立方程式、二次方程式とその利用）

ある正の数 x を2乗して答えを求めるところを、誤って2倍してしまったため、結果は正しい答えより8小さくなりました。この正の数 x を求めなさい。

  1. x = 4 Correct answer.
  2. x = 6
  3. x = 2
  4. x = 8

Explanation

正しい答えは x²、誤った結果は 2x で、誤った結果が8小さいので x² - 2x = 8 と表せます。移項して x² - 2x - 8 = 0、因数分解すると (x - 4)(x + 2) = 0 となり x = 4 または x = -2 です。x は正の数なので x = 4 で、2乗は 16、2倍は 8 となり差が 8 であることも確かめられます。

Question 50方程式（一次方程式、連立方程式、二次方程式とその利用）

x についての二次方程式 x² + ax + b = 0 の解が x = 2 と x = -5 であるとき、定数 a、b の値の組を求めなさい。

  1. a = 3, b = -10 Correct answer.
  2. a = -3, b = -10
  3. a = 7, b = -10
  4. a = 3, b = 10

Explanation

解をそれぞれ代入すると、x = 2 から 4 + 2a + b = 0、x = -5 から 25 - 5a + b = 0 です。この連立方程式を辺々引くと -21 + 7a = 0 より a = 3、これを 4 + 2a + b = 0 に代入して b = -10 となります。x² + 3x - 10 = (x - 2)(x + 5) と因数分解でき、解が 2 と -5 になることが確かめられます。