Saga Public High School Entrance Examination - Mathematics cheat sheet

同符号の2数の積は正、異符号の2数の積は負。除法・累乗でも同じ符号規則が成り立つ。

減法は引く数の符号を変えて加法に直す：a−b=a+(−b)。

計算順序は括弧→累乗→乗除→加減。−3²=−9、(−3)²=9 に注意する。

指数法則：a^m×a^n=a^(m+n)、a^m÷a^n=a^(m−n)、(a^m)^n=a^(mn)。

展開公式：(a+b)²=a²+2ab+b²、(a−b)²=a²−2ab+b²、(a+b)(a−b)=a²−b²。

因数分解は共通因数→平方差・完全平方→x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) の順に試す。

平方根：a≥0、b≥0 で √a×√b=√(ab)、√(a²)=|a|。分母の有理化は分母の平方根を分子分母に掛ける。

√a が自然数になるのは a が平方数のとき。正の数の平方根の大小は2乗して比べる。

一次方程式 ax+b=0（a≠0）の解は x=−b/a。移項は両辺に同じ数を加減したのと同じ。

連立方程式は加減法（係数をそろえて消去）か代入法で解く。解は両方の式を同時に満たす値。

2直線の傾きが異なれば連立方程式の解は1組、一致すれば無数、平行で異なれば解なし。

二次方程式の解の公式：ax²+bx+c=0（a≠0）で x=(−b±√(b²−4ac))/(2a)。

判別式 D=b²−4ac：D>0 は異なる2実数解、D=0 は重解、D<0 は実数解なし。

因数分解による解法：AB=0 ⇔ A=0 または B=0。

解と係数の関係：ax²+bx+c=0 の2解 α、β について α+β=−b/a、αβ=c/a。

文章題では求めた解が長さが正、人数が整数などの条件を満たすか確認し、合わない解を除く。

比例 y=ax（a≠0）のグラフは原点を通る直線で、変化の割合は常に a。

反比例 y=a/x（a≠0）は双曲線で、x と y の積は常に a。x=0 は定義域に含まれない。

一次関数 y=ax+b の a は傾き（変化の割合）、b は y 切片。傾きが等しい2直線は平行。

2点 (x1,y1)、(x2,y2) を通る直線の傾きは a=(y2−y1)/(x2−x1)。

y=ax² のグラフは放物線で、軸は y 軸、頂点は原点。a>0 で下に凸、a<0 で上に凸。

y=ax² で x が p から q まで変化するときの変化の割合は a(p+q)。

放物線と直線の共有点は y を消去してできる二次方程式の実数解として求める。

y=ax² で x の変域が0をまたぐとき、a>0 なら最小値は0、a<0 なら最大値は0。

三角形の内角の和は180°。三角形の外角は隣り合わない2つの内角の和に等しい。

三角形の合同条件：3辺相等、2辺とその間の角、1辺とその両端角。直角三角形は斜辺と1鋭角などでもよい。

相似条件：2角相等、3辺の比相等、2辺の比とその間の角相等。相似比 k で面積比 k²、体積比 k³。

円周角の定理：同じ弧に対する円周角は等しく、中心角は円周角の2倍。直径に対する円周角は90°。

円に内接する四角形の対角の和は180°。接弦定理も角度の証明で使う。

三平方の定理：直角三角形で a²+b²=c²（c は斜辺）。1:1:√2、1:2:√3 の特別角を覚える。

面積：三角形 1/2×底辺×高さ、台形 1/2×(上底+下底)×高さ、円 πr²、扇形 πr²×θ/360。

体積：柱は底面積×高さ、錐は 1/3×底面積×高さ、球は 4/3πr³、球の表面積は 4πr²。

積の法則：事象Aが m 通り、続く事象Bが n 通りなら、連続して起こる場合は m×n 通り。

順列 nPr=n!/(n−r)! は順序を区別して並べる場合の数、組合せ nCr=nPr/r! は選ぶだけの場合の数。

確率 P(A)=（Aが起こる場合の数）/（すべての場合の数）。0≤P(A)≤1 で、全事象の確率は1。

余事象の確率は P(not A)=1−P(A)。「少なくとも1つ」の問題では余事象を考える。

独立な2事象が同時に起こる確率は積。互いに排反な事象の和は和で求める。

代表値：平均値、中央値（並べた中央）、最頻値。外れ値があると平均値は大きく影響される。

四分位数：Q1、Q2（中央値）、Q3。四分位範囲=Q3−Q1 で、箱ひげ図の箱の長さになる。

標本調査は母集団から無作為に抽出した標本で母集団を推定する。標本が大きいほど誤差は小さくなりやすい。

証明は仮定→根拠（定義・定理・条件）→結論の順に書き、各段階で使った理由を明示する。

合同を表すときは対応する頂点の順をそろえる：△ABC≡△DEF。

相似の証明では「2組の角がそれぞれ等しい」など、使った相似条件を必ず書く。

垂直二等分線は2点から等距離な点の集合、角の二等分線は2辺から等距離な点の集合。

作図の説明では、どの作図を何のために使ったかを手順に沿って書く。

命題が偽であることを示すには反例を1つ挙げれば十分。

「AならばB」の逆「BならばA」は常に真とは限らない。逆が偽でも元の命題は真のことがある。

記述式では計算の根拠と図形の根拠（定理名）を対応させて書く。

座標平面上の2点間の距離は √((x2−x1)²+(y2−y1)²) で、三平方の定理から導ける。

直線と放物線の交点は連立して二次方程式にし、その実数解を x 座標とする。

座標平面上の三角形の面積は、底辺を軸に平行にとるか、図形を分割して和・差で求める。

等積変形：底辺が共通で高さが等しい三角形の面積は等しい。平行線を利用して頂点を移動する。

動点問題では時間 t 後の長さを t の式で表し、面積を t の関数にする。変域の変化に注意する。

速さ・時間・距離の関係は 距離=速さ×時間。単位をそろえてから計算する。

グラフの切片や交点は、料金・残量などの文章の条件と対応させて読む。

相似と関数の融合では、相似比から長さや座標を求め、関数の式に代入して値を求める。