十字の道の幅 ― 2m か 1m か、立式と吟味で決める
公園整備のボランティア委員になった高校生が、縦20m、横30m の長方形の花壇に、縁に平行な同じ幅 x m の道を縦に1本、横に1本、十字になるように通す計画を立てている。道を除いた花壇部分の面積を 504m² にしたい。花子さんは (20 − x)(30 − x) = 504 と式を立て、x² − 50x + 96 = 0 を解いて x = 2、48 を得て「道幅は 2m または 48m」と解答欄に書いた。太郎さんは道を2本ずつと読み違えて (20 − 2x)(30 − 2x) = 504 とし、x = 1、24 のうち 1m を答えに選んだ。2人の答えは一致せず、委員の間でどちらが正しいか議論になった。花壇の外側には十分な土地があり、道は花壇の内側に収める必要がある。また、道幅は 0.5m 単位で設計し、花壇部分の面積は整数になるようにしたい。花子さんは x = 48 のときの花壇の様子を想像しておらず、太郎さんは自分の式がどの道の本数に対応するかを説明できなかった。先生は「式の立て方と、答えの吟味の両方を確認しよう」とだけ言って、答えは教えていない。
1. 花子さんの式 (20 − x)(30 − x) = 504 が「縦1本・横1本」の十字の道の計画に対応していることを、道の面積の求め方から説明せよ。
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考え方1：残る長方形を直接見る
横方向の道（幅 x）が1本入ると、道を除いた縦の長さは 20 − x になる。同様に縦方向の道が1本で、横の長さは 30 − x。(20 − x)(30 − x) は「残った花壇部分の縦 × 横」をそのまま表しており、十字の重なり（x × x）はこの引き算の中に自然に1回だけ反映される。
考え方2：道の面積を引く
道の面積は 20x + 30x − x²（重なりを1回分戻す）。 花壇部分 = 600 − (50x − x²) = 600 − 50x + x²
両者は同じ式で、展開すると x² − 50x + 96 = 0 になる。道が各方向1本なら、縦の長さから引くのは x の1回分だけでよい。
2. x² − 50x + 96 = 0 を解き、花子さんの「2m または 48m」が正しいかどうかを、x の変域を示して判定せよ。
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解く
x² − 50x + 96 = 0 を因数分解すると (x − 2)(x − 48) = 0、x = 2、48。
吟味（変域の確認）
道は花壇の内側に収まるので、残る辺の長さは正でなければならない。
- 20 − x > 0 より x < 20
- 30 − x > 0 より x < 30
合わせて 0 < x < 20。x = 48 はこれを満たさず、このとき 20 − 48 = −28 という負の長さになり、図形として存在しない。
結論
x = 2 のみ。検算すると (20 − 2)(30 − 2) = 18 × 28 = 504 で条件を満たす。方程式の解と、問題の条件を満たす解は別物であり、吟味を答案に書くこと自体が得点になる。
3. 太郎さんの x = 1 が誤りであることを面積の計算で示せ。また、太郎さんの式 (20 − 2x)(30 − 2x) はどのような道の配置に対応するか説明せよ。
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誤りであることの確認
x = 1 のとき、縦1本・横1本という実際の計画での花壇部分は (20 − 1)(30 − 1) = 19 × 29 = 551m² となり、504m² にならない。よって 1m は条件を満たさない。
太郎さんの式が表す配置
20 − 2x、30 − 2x は「幅 x の道が縦方向に2本、横方向に2本」入る配置に対応する。この場合も 0 < x < 10 の吟味が必要で、x = 24 は不適となる。
教訓
(20 − x) か (20 − 2x) かは、道の本数と幅の対応をそのまま表している。立式の前に「道は各方向に何本か」「引くのは x か 2x か」を言葉にして確認しないと、方程式は正しく解けても答えがずれる。