放物線上の2点と面積2等分 ― 変域と共通の高さで点を特定する
放物線 y = (1/2)x² 上に2点 A(−4, 8)、B(2, 2) があり、原点を O とする。授業では直線 AB と y軸との交点を C とし、△OAB の面積を △OAC と △OBC に分けて求めた。次に、線分 AB 上に点 P をとり、△OAP の面積が △OAB の面積の半分になる場合を考える。ある生徒は「P は線分 AB の中点しかない」と主張し、別の生徒は「面積の式を立てれば P は2つ出るはずだ」と反論した。さらに別の生徒は「△OAB を2等分する直線は頂点 A か B を通るものだけだ」と考え、原点 O を通る直線でも2等分できることを見落としている。点 P の x座標を t とおくと、P は線分 AB 上にあるので −4 ≦ t ≦ 2 という制限があるが、この制限を忘れた答案が毎年一定数出るという。教師は黒板に図をかかず、座標と条件だけを板書して生徒に考えさせている。
1. 直線 AB の式と点 C の座標を求め、△OAB の面積を △OAC と △OBC に分けて計算せよ。その分割が成り立つ根拠も述べよ。
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直線 AB
傾き = (2 − 8)/(2 − (−4)) = −6/6 = −1。A(−4, 8) を通るので y − 8 = −(x + 4)、y = −x + 4。
点 C
y 切片より C(0, 4)。
面積
OC を共通の底辺とみる。OC = 4。
- △OAC：高さは A の x座標の絶対値 4 → 1/2 × 4 × 4 = 8
- △OBC：高さは B の x座標の絶対値 2 → 1/2 × 4 × 2 = 4
- △OAB = 8 + 4 = 12
分割が成り立つ根拠
A と B は y軸をはさんで反対側にあり、線分 OC（y軸上）が両方の三角形に共通の底辺になる。高さはそれぞれ y軸までの距離なので、面積は単純に和になる。和でよいかどうかは、2点が y軸の同じ側にあるか反対側にあるかで変わる点に注意する。
2. 線分 AB 上に点 P をとる。△OAP の面積が △OAB の半分、すなわち 6 になるときの P の座標を求めよ。また、線分上に答えが1つしかない理由を説明せよ。
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式を立てる
P(t, −t + 4)、ただし線分 AB 上なので −4 ≦ t ≦ 2。
△OAP = 1/2 |x_A·y_P − x_P·y_A| = 1/2 |(−4)(−t + 4) − t·8| = 1/2 |4t − 16 − 8t| = 1/2 |−4t − 16| = 2|t + 4|
変域で絶対値を外す
−4 ≦ t ≦ 2 では t + 4 ≧ 0 なので、△OAP = 2(t + 4)。 2(t + 4) = 6 より t = −1。よって P(−1, 5)。
答えが1つである理由
t が −4 から 2 へ動くと、面積 2(t + 4) は 0 から 12 へ単調に増える。したがって値 6 をとる t はただ1つ。もし絶対値を外すときに変域を確認せず、t = −7 のような線分外の解を出してしまった場合は、−4 ≦ t ≦ 2 で除外する。
3. 原点 O を通り、△OAB の面積を2等分する直線の式を求めよ。また、その直線が面積を2等分する理由を、三角形の面積の求め方から説明せよ。
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中点を求める
AB の中点 M = ((−4 + 2)/2, (8 + 2)/2) = (−1, 5)。
直線の式
原点 O と M(−1, 5) を通る直線の傾きは 5/(−1) = −5。よって y = −5x。
2等分になる理由
M は線分 AB の中点なので AM = MB。△OAM と △OBM は、底辺をそれぞれ AM、MB とみると長さが等しく、頂点 O から直線 AB までの距離（高さ）が共通である。底辺が等しく高さが等しいので面積も等しく、それぞれ △OAB の半分になる。
見落としやすい点
面積を2等分する直線は、頂点を通るものに限らない。三角形の1辺上の中点を通る直線（この場合は O と AB の中点を結ぶ直線）でも2等分できる。