直角三角形と垂線 ― 相似の対応順と AH² = BH × CH の根拠
∠A = 90°、AB = 6cm、AC = 8cm の直角三角形 ABC があり、BC = 10cm である。頂点 A から辺 BC に垂線 AH を下ろす。授業で、△ABH と △CAH が相似であることを証明する答案を検討したところ、ある生徒は「∠AHB = ∠CHA = 90°、∠ABH = ∠CAH より2組の角がそれぞれ等しいので △ABH ∽ △CHA」と書き、対応する頂点の順序を間違えていた。また別の生徒は AH の長さを 6 × 8 ÷ 10 = 4.8cm と一発で出したが、その根拠を説明できなかった。さらに、AH² = BH × CH という関係を丸暗記して使う生徒もいる。授業の冒頭で、直角三角形の鋭角の和が 90° であることは確認済みである。教師は相似の対応順を意識させること、比例式から長さを導くこと、そして AH² = BH × CH が相似から導かれることを1つの授業でつなげたいと考えている。答案では「どの角が等しいか」を根拠として明記することが求められている。
1. △ABH と △CAH が相似であることを、等しい角を根拠に示せ。また、答案の △ABH ∽ △CHA という書き方がなぜ減点されるのか説明せよ。
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等しい角を示す
- AH ⊥ BC より ∠AHB = ∠CHA = 90°
- ∠ABH は △ABC の ∠B そのもの。
- ∠CAH は ∠C を用いて ∠CAH = 90° − ∠C。直角三角形の鋭角の和が 90° なので ∠B = 90° − ∠C。よって ∠ABH = ∠CAH。
2組の角がそれぞれ等しいので相似。
正しい対応順
B↔A、A↔C、H↔H なので △ABH ∽ △CAH。
△CHA と書くとなぜまずいか
相似の記号は頂点の対応を表す。△CHA と書くと A↔C、B↔H、H↔A となり、∠ABH（=∠B）が ∠CHA（=90°）に対応してしまう。対応順を間違えると、次に立てる比例式もずれるので、証明の結論としても減点対象になる。
2. △ABH ∽ △CAH の相似比を用いて AH の長さを求めよ。比例式を明記し、BH、CH の長さも求めよ。
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比例式
対応 B↔A、A↔C、H↔H より AB : CA = BH : AH = AH : CH
AB = 6、CA = 8 なので相似比は 3 : 4。
BH と AH
BH : AH = 3 : 4 より AH = (4/3)BH。
AH と CH
AH : CH = 3 : 4 より CH = (4/3)AH = (16/9)BH。
BH + CH = BC = 10 を使う
BH + (16/9)BH = (25/9)BH = 10 より BH = 3.6。 AH = (4/3) × 3.6 = 4.8、CH = (4/3) × 4.8 = 6.4。
検算
BH + CH = 3.6 + 6.4 = 10、AH² = 23.04 = BH × CH。面積で 1/2 × 10 × 4.8 = 24 = 1/2 × 6 × 8 も一致する。
3. AH² = BH × CH が成り立つことを、△ABH ∽ △CAH の比例式から導け。また、この関係を暗記だけで使うことの問題点を述べよ。
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導出
相似の対応 B↔A、A↔C、H↔H より BH : AH = AH : CH
比例式の内項の積と外項の積は等しいので AH × AH = BH × CH、すなわち AH² = BH × CH
数値で確認すると 4.8² = 23.04、3.6 × 6.4 = 23.04 で一致する。
暗記で使う問題点
- どの辺とどの辺の積かを取り違えやすい（AH·BC や AB·AC と混同する）。
- この関係は「AH が直角の頂点から斜辺に下ろした垂線」であることが前提で、そうでない図形に使うと誤答になる。
- 導出（相似の比例式）を書けないと、記述式で根拠を示せず得点にならない。
公式は結果であり、比例式から作れることが応用力の土台になる。