カードの積が偶数になる確率 ― 余事象と重複の引き忘れ
1、2、3、4、5 の数字を1つずつ書いた5枚のカードから、同時に2枚を引く。引いた2枚の数の積が偶数になる確率を求める問題で、次の3つの答案が出た。Aさんは「偶数は2枚、奇数は3枚だから、偶数を引く確率は 2/5。2枚引くので 2/5 × 2 = 4/5」と答えた。Bさんは2枚の組をすべて書き出して10通りとし、積が偶数になる7通りを数えて 7/10 と答えた。Cさんは「少なくとも1枚が偶数」の余事象を考え、奇数3枚から2枚を選ぶ場合を数えて 1 − 3/10 = 7/10 とした。BさんとCさんの答えは一致したが、Aさんは自分の誤りがわからない。Aさんは前の問題で「白玉2個、赤玉3個の袋から1個取り出す」確率を扱ったばかりで、その感覚をそのまま使ってしまったという。さらに、来年の文化祭ではカードを 1〜6 の6枚に増やす案が出ており、6枚にすると当たりやすくなるのかどうかが議論になっている。教師は「場合の数を数えるときは、何を1つの場合とみなすかを最初に決めることが大切だ」と助言した。どの2枚の組も同じ程度に選ばれるものとする。
1. Bさんの10通りという数え方が「同様に確からしい」場合の数になっている理由を説明し、積が偶数になる確率が 7/10 であることを、組を書き並べて確かめよ。
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同様に確からしいことの根拠
5枚から同時に2枚引く組の総数は 5 × 4 ÷ 2 = 10 通り。同時に引くので順序は区別せず、どの組も同じ程度に起こる。したがって10通りを分母にした確率計算ができる。
書き並べる
(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)
積：2、3、4、5、6、8、10、12、15、20
偶数になるのは (1,2)(1,4)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(4,5) の7通り。
確率
7/10。
別の見方
積が奇数になるのは2枚とも奇数のときだけで、(1,3)(1,5)(3,5) の3通り。10 − 3 = 7 としても同じ。
2. Aさんの 4/5 という答えは 7/10 に近いが誤りである。どこで二重に数えているのかを、確率の加法の形で説明し、正しい式に直せ。
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Aさんがやったこと
「1枚目が偶数である確率 2/5」と「2枚目が偶数である確率 2/5」を単純に足して 4/5 とした。
誤りの正体
求めるのは「少なくとも1枚が偶数」という和事象の確率で、和の法則は P(X∪Y) = P(X) + P(Y) − P(X∩Y)
Aさんは最後の引き算を忘れている。X∩Y は「2枚とも偶数」で、(2,4) の1通り、確率 1/10。
正しい式
2/5 + 2/5 − 1/10 = 8/10 − 1/10 = 7/10
Bさん・Cさんの結果と一致する。
教訓
「1枚目」「2枚目」のように事象を分けて足すときは、両方成り立つ場合を必ず引き去る。カードを戻さないので、2枚目が偶数になる確率は1枚目の結果によって変わる（偶数なら 1/4、奇数なら 2/4）ことも、単純な 2/5 の繰り返しが使えない理由である。
3. カードを 1〜6 の6枚に増やしたとき、積が偶数になる確率を求め、5枚のときと比べてどうなるかを、余事象の式を用いて説明せよ。
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6枚のとき
全体の組の数は C(6,2) = 15 通り。積が奇数になるのは奇数 {1,3,5} から2枚選ぶ場合で C(3,2) = 3 通り。余事象より 1 − 3/15 = 1 − 1/5 = 4/5 = 0.8
5枚のとき
1 − 3/10 = 7/10 = 0.7
比較と理由
6枚にすると当たりやすくなる。偶数は2枚から3枚に増えるが、奇数は3枚のままで「2枚とも奇数」の組は3通りで変わらない。一方、全体の組の数は10から15へ増えるため、余事象の確率は 3/10 から 3/15 = 1/5 へ小さくなる。
注意点
「偶数が増えたから当たりやすい」という直感だけでは不十分で、分母（全体の場合の数）と分子（余事象の場合の数）の両方の変化を式で確かめる必要がある。