数と式 - 小問集合の得点源
数と式：計算の土台を固める
この試験では、正負の数・文字式・式の展開と因数分解・平方根が小問としてまとめて問われる。1問あたりの配点は大きくないが、ここを落とすと後半の記述問題で挽回するのは難しい。速さより正確さを優先し、途中式を残して見直せる状態にしておきたい。
正負の数と文字式
- 累乗は符号より先に計算する。(-3)² = 9 だが -3² = -9。
- 四則の混在は「かっこ → 累乗 → 乗除 → 加減」の順。3 - 2 × (-4) = 3 + 8 = 11。
- 同類項は係数をまとめる。2a - 5a + 4a = a。
- 分配法則は符号まで配る。-2(x - 3y) = -2x + 6y。
- 分数を含む式は通分してから計算する。
展開と因数分解
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
- (a + b)² = a² + 2ab + b²、(a - b)² = a² - 2ab + b²
- (a + b)(a - b) = a² - b²
- 因数分解はまず共通因数をくくる。2x² - 18 = 2(x² - 9) = 2(x + 3)(x - 3)。
平方根
- a > 0、b > 0 のとき √a × √b = √(ab)、√a ÷ √b = √(a/b)。
- 分母の有理化：6/√3 = 6√3/3 = 2√3。
- √(a²) = |a| なので √((-5)²) = 5。
- √a + √b はまとめられない。まず根号の外へ出す。
例題
6/√3 + √12 を計算する。
- 6/√3 の分母を有理化する。分母分子に√3をかけて 6√3/3 = 2√3。
- √12 を簡単にする。12 = 4 × 3 なので √12 = 2√3。
- 2√3 + 2√3 = 4√3。 「根号の外に出してから足す」が原則。√3 + √12 = √15 としてしまうと失点する。
失点しやすいところ
- (-3)² と -3² の混同。かっこの有無で符号が変わる。
- √2 + √3 を √5 とする誤り。
- 因数分解で共通因数をくくり忘れ、途中で終わる。
- 展開で定数項の符号を落とす。(x + 3)(x - 5) = x² - 2x - 15。